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Module DW2 · 개수로 · 수문학 심화

Open Channel Hydraulics & Hydrology (Manning · Hydraulic Jump · Rational · NRCS)

🔗 선수 학습 — Breadth M22 (개수로 수리) 와 M23 (수문학·합리식) 의 기본을 심화합니다.
이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. Manning 등류식

SI: $\quad V = \dfrac{1}{n} R^{2/3} S^{1/2}, \quad Q = \dfrac{1}{n} A R^{2/3} S^{1/2}$

US: $\quad V = \dfrac{1.486}{n} R^{2/3} S^{1/2}$ (V in ft/s, R in ft)

$R = A/P$ (수리반경), $n$: Manning 조도 (콘크리트 0.013, 흙수로 0.025, 자갈 0.030).

2. Froude 수와 흐름 분류

$$ F = \frac{V}{\sqrt{g \, y_h}}, \quad y_h = A/T $$ — $F < 1$: 상류 (subcritical), $F = 1$: 한계류, $F > 1$: 사류 (supercritical).

3. 한계수심 (Critical Depth)

직사각형 단면: $\quad y_c = \left(\dfrac{q^2}{g}\right)^{1/3}, \quad q = Q/b$

한계 조건에서 비에너지 최소: $E_c = \dfrac{3}{2} y_c$

4. 수리도약 (Hydraulic Jump)

$$ \frac{y_2}{y_1} = \frac{1}{2}\left(\sqrt{1 + 8 F_1^2} - 1\right) $$ 에너지 손실 (직사각형): $\Delta E = \dfrac{(y_2 - y_1)^3}{4 y_1 y_2}$

5. 합리식 (Rational Method)

SI: $\quad Q = 0.278 \, C \, i \, A$ (Q in m³/s, i in mm/h, A in km²)

US: $\quad Q = C \, i \, A$ (Q in cfs, i in in/h, A in ac)

유역면적 ≤ 80 ha (200 ac), $t_c$ < 30 min 권장. C: 도시 0.7~0.95, 잔디 0.05~0.25.

6. NRCS (SCS) Curve Number 방법

$$ S = \frac{25400}{CN} - 254 \quad \text{(mm)}, \quad I_a = 0.2 S $$ $$ Q = \frac{(P - I_a)^2}{P - I_a + S} \quad \text{when } P > I_a $$ — 도심 (CN 90~98), 산림 (CN 30~70). AMC II 기준.

7. 도달시간 tc (Time of Concentration)

Kirpich (US): $\quad t_c = 0.0078 \, L^{0.77} \, S^{-0.385}$ (분, L ft, S 무차원)
합리식의 강우강도 i 는 지속시간 = tc인 IDF 곡선 값을 사용.

8. 단위유량도 (Unit Hydrograph)

유역 1 in (또는 1 cm) 의 강우 - 유출 응답. 지속시간 D 의 UH 는 임의 강우 분포에 대해 선형 중첩 (convolution) 적용 가능.

⚠️ 핵심 함정 — 합리식 단위: SI 0.278 계수, US 무차원 1.0. NRCS S 의 mm/in 단위 혼용 빈번. Manning n 은 SI/US 동일 값 사용 (단, US 식엔 1.486 곱).

📐 공식·기준 요약

① Manning (SI)
$$ Q = \frac{1}{n} A R^{2/3} S^{1/2} $$
② Froude · 한계수심
$$ F = \frac{V}{\sqrt{gy_h}}, \quad y_c = (q^2/g)^{1/3} $$
③ 수리도약
$$ y_2/y_1 = 0.5(\sqrt{1+8F_1^2}-1) $$
④ 합리식 (SI)
$$ Q = 0.278\, C\, i\, A $$
⑤ NRCS
$$ Q = \frac{(P-0.2S)^2}{P+0.8S}, \quad S = \tfrac{25400}{CN}-254 $$
⑥ Kirpich tc (US, min)
$$ t_c = 0.0078\, L^{0.77}\, S^{-0.385} $$

💡 유형별 예제

예제 1 · Manning 식 등류 유량

Manning

직사각형 콘크리트 수로 폭 b = 3 m, 수심 y = 1.5 m, 경사 S = 0.001, Manning n = 0.013. 등류 유량 Q (SI) 는?

  • A. 약 6.5 m³/s
  • B. 약 9.0 m³/s
  • C. 약 12.6 m³/s
  • D. 약 16.1 m³/s

✅ 단계별 풀이

Step 1. 면적·접수길이·수리반경
$$ A = b \cdot y = 3 \times 1.5 = 4.5~\text{m}^2 $$ $$ P = b + 2y = 3 + 3 = 6~\text{m} $$ $$ R = A/P = 4.5/6 = 0.75~\text{m} $$
Step 2. Manning 식
$$ Q = \frac{1}{0.013} \times 4.5 \times (0.75)^{2/3} \times (0.001)^{1/2} $$ $$ (0.75)^{2/3} \approx 0.8255, \quad (0.001)^{1/2} = 0.03162 $$ $$ Q = 76.92 \times 4.5 \times 0.8255 \times 0.03162 \approx 9.04~\text{m}^3/s $$
최종 답
$$\boxed{Q \approx 9.0~\text{m}^3/s}$$
✔ 정답: B. 약 9.0 m³/s

예제 2 · 수리도약 후수심

Hydraulic Jump

직사각형 수로 도약 전 y₁ = 0.5 m, V₁ = 6 m/s. 도약 후 수심 y₂ 는?

  • A. 약 1.4 m
  • B. 약 1.7 m
  • C. 약 2.0 m
  • D. 약 2.5 m

✅ 단계별 풀이

Step 1. Froude 수
$$ F_1 = \frac{V_1}{\sqrt{g y_1}} = \frac{6}{\sqrt{9.81 \times 0.5}} = \frac{6}{2.215} \approx 2.71 $$
Step 2. Belanger 식
$$ \frac{y_2}{y_1} = \tfrac{1}{2}(\sqrt{1+8 F_1^2} - 1) = \tfrac{1}{2}(\sqrt{1 + 8(7.34)} - 1) $$ $$ = \tfrac{1}{2}(\sqrt{59.7}-1) = \tfrac{1}{2}(7.73-1) = 3.36 $$ $$ y_2 = 3.36 \times 0.5 = 1.68~\text{m} $$
최종 답
$$\boxed{y_2 \approx 1.7~\text{m}}$$
✔ 정답: B. 약 1.7 m

예제 3 · 합리식 첨두유량

Rational

도시 유역 A = 50 ac, 평균 유출계수 C = 0.70, 도달시간에 해당하는 강우강도 i = 2.5 in/h. 첨두유량 Qp (cfs) 는?

  • A. 약 65 cfs
  • B. 약 87 cfs
  • C. 약 125 cfs
  • D. 약 175 cfs

✅ 단계별 풀이

Step 1. US 단위 합리식
$$ Q = C \, i \, A = 0.70 \times 2.5 \times 50 = 87.5~\text{cfs} $$
단위 검증 — $Q$ [cfs] = $C$ [-] × $i$ [in/h] × $A$ [ac] 에서 1 ac·in/h ≈ 1.008 cfs ≈ 1 cfs (편의 무차원).
최종 답
$$\boxed{Q_p \approx 87~\text{cfs}}$$
✔ 정답: B. 약 87 cfs

🎯 실전 미니 퀴즈 8 문제 · 48 분

48:00

Q1. Manning 식 US 단위 형태에 곱해지는 환산계수는?

  • A. 1.0
  • B. 0.278
  • C. 1.486
  • D. 9.81

Q2. Froude 수가 1 일 때 흐름 상태는?

  • A. 사류 (supercritical)
  • B. 한계류 (critical)
  • C. 상류 (subcritical)
  • D. 정지수면

Q3. 직사각형 단면 한계수심 yc 의 옳은 표현은?

  • A. (q²/g)1/3
  • B. (g/q²)1/3
  • C. q/g
  • D. g·q

Q4. 합리식 SI 형태 Q = k·C·i·A 에서 k 값은? (Q m³/s, i mm/h, A km²)

  • A. 1.0
  • B. 0.0278
  • C. 2.78
  • D. 0.278

Q5. 합리식 적용 권장 유역 면적 상한은 약?

  • A. 5 ha
  • B. 80 ha (200 ac)
  • C. 1,000 ha
  • D. 면적 무관

Q6. NRCS 식에서 초기 손실 Ia 는 일반적으로?

  • A. 0.05 S
  • B. 0.1 S
  • C. 0.2 S
  • D. 0.5 S

Q7. CN = 80 일 때 잠재최대유량저류 S (mm) 는?

  • A. 약 63.5
  • B. 약 25.4
  • C. 약 12.7
  • D. 약 100

Q8. 수리도약 발생 조건은?

  • A. F < 1 → F < 1
  • B. F > 1 → F < 1 (사 → 상)
  • C. F < 1 → F > 1
  • D. 일정한 F