Module 22 · 수리학·개수로 — PE Civil 학습 허브

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념
📐 공식·기준 요약
💡 유형별 예제 (6)
🎯 실전 미니 퀴즈 (8문제 · 48분)

📖 핵심 개념

1. Manning 방정식

개수로 정상류(uniform flow) 의 기본 공식. US 단위와 SI 단위에서 계수가 다르다는 점이 가장 흔한 함정.

Manning (US)

$$ Q \;=\; v\,A \;=\; \frac{1.49}{n}\,A\,r_{H}^{2/3}\,S^{1/2} $$

Manning (SI)

$$ Q \;=\; \frac{1}{n}\,A\,r_{H}^{2/3}\,S^{1/2} $$

$r_{H} = A/P$ = 수력반경, $S$ = 에너지선 경사 (정상류에서는 바닥경사와 동일).

2. 단면별 기하 ($A$, $P$, $r_{H}$)

단면	$A$	$P$	$r_{H} = A/P$
직사각 ($w, d$)	$w d$	$w + 2d$	$\dfrac{w d}{w+2d}$
삼각 ($z$:1, 깊이 $d$)	$z d^{2}$	$2 d\sqrt{1+z^{2}}$	$\dfrac{z d}{2\sqrt{1+z^{2}}}$
사다리꼴 ($b, z, d$)	$(b + z d)d$	$b + 2 d\sqrt{1+z^{2}}$	$\dfrac{(b+z d)d}{b+2 d\sqrt{1+z^{2}}}$
원형 full ($D$)	$\pi D^{2}/4$	$\pi D$	$D/4$
원형 half-full ($D$)	$\pi D^{2}/8$	$\pi D/2$	$D/4$

3. 마찰 수두손실 합산

다구간 수두손실

$$ h_{f} \;=\; \sum_{i} S_{i}\,L_{i},\qquad S_{\text{avg}} = \frac{h_{f}}{L_{\text{total}}} $$

정상류에서 각 구간의 $S$ 는 그 구간 바닥경사. 다른 n, 단면에선 각각 Manning 반영.

4. 정상수심 · 임계수심 비교 (흐름 분류)

관계	분류	설명
$d_{n} > d_{c}$	Mild slope	정상류가 상류 (subcritical)
$d_{n} = d_{c}$	Critical slope	임계 경사
$d_{n} < d_{c}$	Steep slope	정상류가 사류 (supercritical)

5. 원형관 Full vs Half-Full

중요 — 둘 모두 $r_{H} = D/4$

그러므로 Manning 식에서 $r_{H}^{2/3}$ 는 동일. 유량 비 $Q_{\text{half}}/Q_{\text{full}} = A_{\text{half}}/A_{\text{full}} = 1/2$. 실제 최대유량은 약 93% 충수 에서 발생 (둘레 증가보다 면적 증가가 큼).

6. Full pipe 직경 설계식

직접 정리

$$ D \;=\; \left[\frac{Q\,n}{1.49\cdot(\pi/4)\cdot(1/4)^{2/3}\cdot S^{1/2}}\right]^{3/8} $$

상수 $1.49\cdot(\pi/4)\cdot(1/4)^{2/3} = 0.4632$ 이므로 $D = \Bigl(\dfrac{Q n}{0.4632\,\sqrt{S}}\Bigr)^{3/8}$.

📐 공식·기준 요약

개념	공식/기준	비고
Manning (US)	$Q = (1.49/n)A r_{H}^{2/3} S^{1/2}$	ft, cfs
Manning (SI)	$Q = (1/n)A r_{H}^{2/3} S^{1/2}$	m, m³/s
수력반경	$r_{H} = A/P$
Full pipe $r_{H}$	$D/4$	half도 동일
Rect $r_{H}$	$wd/(w+2d)$
마찰수두 손실	$h_{f} = SL$	정상류
다구간 평균	$h_{f} = \sum S_{i}L_{i}$
직경 설계	$D = (Qn/(0.4632\sqrt{S}))^{3/8}$	US 단위
임계 (non-rect)	$Q^{2}/g = A^{3}/T$	$T$ = 수면 폭
Concrete $n$	0.013 – 0.015	평활 – 거친
Asphalt $n$	0.015 – 0.017
Earth $n$	0.022 – 0.035	초·장애물 영향
Rock $n$	0.035 – 0.050
Max Q in circular	$d/D \approx 0.93$	Full 보다 7% 큼

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · 다구간 평균 마찰손실

hf 합산

직사각 개수로가 두 구간으로 구성: (1) 1,000 ft 구간 S = 2%, (2) 2,000 ft 구간 S = 1.5%. 1,000 ft 당 평균 마찰 손실 (ft) 은?

A. 약 10
B. 약 16
C. 약 27
D. 약 50

✅ 단계별 풀이

Step 1. 각 구간 손실

$$ h_{f} = S_{1}L_{1} + S_{2}L_{2} = 0.02\times 1000 + 0.015\times 2000 = 20 + 30 = 50\ \text{ft} $$

Step 2. 1,000 ft 당

$$ \frac{h_{f}}{L}\times 1000 = \frac{50}{3000}\times 1000 = 16.67\ \text{ft} $$

주의 — 가중 평균은 총 손실 ÷ 총 길이 가 정답. 단순 산술평균 (2% + 1.5%)/2 = 1.75% → 17.5 ft 는 틀림 (길이가 다르므로).

최종 답

$$\boxed{\approx 16\ \text{ft/1000 ft}}$$

✔ 정답: B. 약 16

예제 2 · 직사각 수로 정상수심 (w = 2d)

Manning · Rect

직사각 수로의 폭이 깊이의 2 배 ($w = 2d$). $Q = 50$ cfs, $n = 0.013$, $S = 0.002$. 정상수심 $d$ (ft) 는?

A. 약 1.3
B. 약 1.8
C. 약 2.1
D. 약 2.5

✅ 단계별 풀이

Step 1. 기하량 정리

$$ A = w d = 2 d^{2},\qquad P = w + 2 d = 4 d,\qquad r_{H} = \frac{A}{P} = \frac{d}{2} $$

Step 2. Manning 대입

$$ 50 = \frac{1.49}{0.013}\times 2 d^{2} \times \Bigl(\tfrac{d}{2}\Bigr)^{2/3}\times \sqrt{0.002} $$ $$ 50 = 114.6 \times 2 \times \frac{d^{8/3}}{2^{2/3}} \times 0.04472 $$

Step 3. 정리

$$ 50 = 6.46\, d^{8/3}\;\Rightarrow\; d^{8/3} = 7.74\;\Rightarrow\; d = 7.74^{3/8} = 2.15\ \text{ft} $$

검증 — $d = 2.15$ 대입 시 $A = 9.25$, $rH = 1.075$, Q = 114.6×9.25×1.050×0.04472 ≈ 50 cfs ✓

최종 답

$$\boxed{d \approx 2.1\ \text{ft}}$$

✔ 정답: C. 약 2.1

예제 3 · 직사각 수로 유량 (Q 구하기)

Manning · Q

폭 8 ft, 수심 3 ft 직사각 콘크리트 수로 ($n = 0.013$), 경사 $S = 0.0016$. 유량 (cfs) 은?

A. 약 100
B. 약 160
C. 약 200
D. 약 260

✅ 단계별 풀이

Step 1. 기하량

$$ A = 8\times 3 = 24\ \text{ft}^{2},\quad P = 8 + 2\times 3 = 14\ \text{ft},\quad r_{H} = \tfrac{24}{14} = 1.714 $$

Step 2. $r_{H}^{2/3}$ 및 $\sqrt{S}$

$$ r_{H}^{2/3} = 1.714^{0.667} = 1.438,\qquad \sqrt{0.0016} = 0.04 $$

Step 3. Manning

$$ Q = \frac{1.49}{0.013}\times 24 \times 1.438 \times 0.04 = 114.6\times 1.380 = 158\ \text{cfs} $$

최종 답

$$\boxed{Q \approx 160\ \text{cfs}}$$

✔ 정답: B. 약 160

예제 4 · 삼각형 수로 임계수심

Critical · Non-rect

대칭 삼각 수로 (양 옆 경사 $z = 2$:1, H:V). $Q = 50$ cfs. 임계수심 (ft) 은?

A. 약 1.5
B. 약 2.1
C. 약 2.8
D. 약 3.5

✅ 단계별 풀이

비직사각 임계 조건

$$ \frac{Q^{2}}{g} \;=\; \frac{A^{3}}{T} $$

Step 1. 삼각 기하량

$$ A = z d_{c}^{2} = 2 d_{c}^{2},\qquad T = 2 z d_{c} = 4 d_{c} $$

Step 2. 대입

$$ \frac{50^{2}}{32.2} = \frac{(2 d_{c}^{2})^{3}}{4 d_{c}} \;\Rightarrow\; 77.64 = \frac{8 d_{c}^{6}}{4 d_{c}} = 2 d_{c}^{5} $$

Step 3. 풀기

$$ d_{c}^{5} = 38.82\;\Rightarrow\; d_{c} = 38.82^{0.2} = 2.08\ \text{ft} $$

확장 — 임계속도 $v_{c} = Q/A_{c} = 50/(2\times 2.08^{2}) = 5.78$ ft/s. Fr = $v/\sqrt{g\,A/T}$ = 1 만족 확인 가능.

최종 답

$$\boxed{d_{c} \approx 2.1\ \text{ft}}$$

✔ 정답: B. 약 2.1

예제 5 · 원형 반만찬 유량

Pipe · Half-full

36-in (3 ft) 직경 원형 우수관, 길이 10,000 ft. 마찰 손실 25 ft, $n = 0.012$, 반만 충수 (half-full) 로 운영. 최대 유량 (cfs) 은?

A. 약 12
B. 약 18
C. 약 22
D. 약 25

✅ 단계별 풀이

Step 1. 경사

$$ S = h_{f}/L = 25/10000 = 0.0025 $$

Step 2. Half-full 기하

$$ A = \frac{\pi D^{2}}{8} = \frac{\pi \times 9}{8} = 3.534\ \text{ft}^{2},\qquad r_{H} = D/4 = 0.75\ \text{ft} $$

Step 3. Manning

$$ Q = \frac{1.49}{0.012}\times 3.534 \times 0.75^{2/3}\times \sqrt{0.0025} = 124.2 \times 3.534 \times 0.825 \times 0.05 = 18.1\ \text{cfs} $$

핵심 — Full 과 Half-full 은 $r_{H}$ 동일 ($D/4$). 면적만 반이므로 유량도 반.

최종 답

$$\boxed{Q \approx 18\ \text{cfs}}$$

✔ 정답: B. 약 18

예제 6 · 원형 우수관 직경 설계

Pipe Sizing

5 acre 미완성 주차장 배수관, 설계 유량 28 cfs. $n = 0.015$, 길이 1,000 ft, 경사 $S = 0.02$. 필요한 표준 직경 (inch) 은? (표준: 12" 부터 6" 씩 증가)

A. 18
B. 24
C. 30
D. 36

✅ 단계별 풀이

Step 1. Full pipe 설계식

$$ Q = \frac{1.49}{n}\cdot \frac{\pi D^{2}}{4}\cdot\Bigl(\frac{D}{4}\Bigr)^{2/3}\cdot S^{1/2} = 0.4632\cdot \frac{D^{8/3}}{n}\cdot S^{1/2} $$

Step 2. D 로 정리

$$ D = \left[\frac{Q\,n}{0.4632\cdot\sqrt{S}}\right]^{3/8} $$

Step 3. 대입

$$ D = \left[\frac{28\times 0.015}{0.4632\times \sqrt{0.02}}\right]^{3/8} = \left[\frac{0.420}{0.0655}\right]^{3/8} = 6.41^{3/8} = 1.97\ \text{ft} $$

Step 4. 표준 직경 선택

$$ 1.97\ \text{ft} = 23.6\ \text{in}\;\Rightarrow\;\text{다음 표준}\;24\ \text{in} $$

주의 — 계산 직경은 반드시 올림하여 표준 규격 선택. 작은 쪽을 고르면 넘침.

최종 답

$$\boxed{D = 24\ \text{in}}$$

✔ 정답: B. 24

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 22 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. US 단위계 Manning 식의 상수는?

A. 1.0
B. 1.0/n
C. 1.49
D. 2.303

Q2. 원형관이 full 과 half-full 일 때 수력반경은?

A. 두 경우 모두 $D/4$
B. Full $D/4$, Half $D/8$
C. Full $D/2$, Half $D/4$
D. 단면마다 계산 필요

Q3. 원형관의 최대 유량 은 어느 충수 비율에서 발생하는가?

A. $d/D = 0.5$
B. $d/D \approx 0.93$
C. $d/D = 1.0$ (가득)
D. $d/D = 0.75$

Q4. $d_{n} < d_{c}$ 일 때 수로의 경사는?

A. Adverse (역경사)
B. Mild
C. Critical
D. Steep

Q5. 직사각 수로 $w = 6$ ft, $d = 2$ ft. $r_{H}$ (ft) 는?

A. 0.80
B. 1.00
C. 1.20
D. 1.50

Q6. 두 구간: 500 ft×S=0.01 + 1,500 ft×S=0.005. 총 마찰 손실 (ft) 은?

A. 12.5
B. 15.0
C. 17.5
D. 20.0

Q7. 콘크리트관의 $n$ 값으로 가장 적합한 것은?

A. 0.003
B. 0.013
C. 0.045
D. 0.100

Q8. 삼각형 대칭 수로 ($z=1$, 즉 45°). 수심 2 ft 일 때 단면적 (ft²) 은?

A. 1
B. 2
C. 3
D. 4