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Module 21 · 에너지감쇄·임계류

Energy Dissipation, Sub/Super Critical Flow

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. 비에너지 (Specific Energy)

개수로 흐름의 바닥 기준 에너지를 비에너지 $E$ 라 하며 수심 + 속도수두로 정의:

비에너지 정의
$$ E \;=\; d \;+\; \frac{v^{2}}{2g} $$

일정 유량 $Q$ 에서 수심 $d$ 에 대해 비에너지는 최소 지점을 갖는데, 이때의 수심이 임계수심 $d_{c}$.

2. Froude 수와 흐름 분류

Froude 수
$$ N_{FR} \;=\; \frac{v}{\sqrt{g\,d_{h}}},\qquad d_{h} = \frac{A}{T}\ \ (\text{수력심}) $$

직사각형 단면에서는 $d_{h} = d$ (수심과 동일).

Fr흐름 형태특징
$Fr < 1$Subcritical (상류/완류)중력지배, 파가 상류로 전파 가능
$Fr = 1$Critical (임계)비에너지 최소, $d = d_{c}$
$Fr > 1$Supercritical (사류/급류)관성지배, 파는 하류 전파만

3. 임계수심·임계속도 (직사각형 채널)

임계수심
$$ d_{c} \;=\; \left(\frac{q^{2}}{g}\right)^{1/3},\qquad q = \frac{Q}{w} $$

또는 $d_{c}^{3} = Q^{2}/(g w^{2})$.

임계속도
$$ v_{c} \;=\; \sqrt{g\,d_{c}} $$

4. Hydraulic Jump (수력도약)

사류→상류로 급격 전환 시 발생하는 에너지 감쇄 현상. 직사각형 채널에서 공액수심 관계:

공액수심 관계
$$ \frac{d_{2}}{d_{1}} \;=\; \frac{1}{2}\Bigl(-1 + \sqrt{1 + 8\,Fr_{1}^{2}}\Bigr) $$
후속 수심으로부터 v 공식
$$ v_{1}^{2} \;=\; \frac{g\,d_{2}(d_{1}+d_{2})}{2\,d_{1}},\qquad v_{2}^{2} \;=\; \frac{g\,d_{1}(d_{1}+d_{2})}{2\,d_{2}} $$
에너지 손실
$$ \Delta E \;=\; \left(d_{1}+\frac{v_{1}^{2}}{2g}\right) - \left(d_{2}+\frac{v_{2}^{2}}{2g}\right) \;=\; \frac{(d_{2}-d_{1})^{3}}{4\,d_{1}d_{2}} $$

5. 수력도약 분류 (Fr$_{1}$ 기준)

분류Fr$_{1}$ 범위특징
Undular (파형)1.0 – 1.7잔물결, 에너지 감쇄 <5%
Weak (약)1.7 – 2.5작은 롤러
Oscillating (진동)2.5 – 4.5표면 파동, 하류 불안정
Steady (정상)4.5 – 9.0가장 안정, 감쇄 45–70%
Strong (강)> 9.0거친 난류, 감쇄 >70%

6. 흐름 기본 연속성

연속 방정식
$$ Q \;=\; v\,A \;=\; v_{1}A_{1} \;=\; v_{2}A_{2} $$

직사각형에서 $A = w\,d$. 도약 전·후 유량 동일.

📐 공식·기준 요약

개념공식/기준비고
비에너지$E = d + v^{2}/(2g)$바닥 기준
Froude 수$Fr = v/\sqrt{g d_{h}}$$d_{h} = A/T$
임계수심 (rect)$d_{c} = (q^{2}/g)^{1/3}$$q = Q/w$
임계속도$v_{c} = \sqrt{g d_{c}}$$Fr = 1$ 일 때
공액수심$\tfrac{d_{2}}{d_{1}} = \tfrac{1}{2}(-1+\sqrt{1+8 Fr_{1}^{2}})$직사각
v1 공식$v_{1}^{2} = g d_{2}(d_{1}+d_{2})/(2 d_{1})$rect jump
v2 공식$v_{2}^{2} = g d_{1}(d_{1}+d_{2})/(2 d_{2})$rect jump
에너지 손실$\Delta E = (d_{2}-d_{1})^{3}/(4 d_{1}d_{2})$
연속성$Q = vA$$A_{\text{rect}} = wd$
Steady jump$4.5 < Fr_{1} < 9$가장 안정
g (US)$32.2$ ft/s²SI: 9.81 m/s²
$d_{c}$ non-rect$Q^{2}/g = A^{3}/b$$b$ = 수면 폭

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · 수력도약 ΔE

Energy Loss

폭 5 ft 직사각형 수로에 300 cfs. 도약 전 수심 2 ft. 도약으로 인한 비에너지 손실 (ft) 은?

  • A. 약 1.0
  • B. 약 1.7
  • C. 약 2.8
  • D. 약 5.6

✅ 단계별 풀이

Step 1. 도약 전 속도
$$ v_{1} = \frac{Q}{wd_{1}} = \frac{300}{5\times 2} = 30\ \text{ft/s} $$
Step 2. 도약 후 수심 (공액)
$$ d_{2} = -\frac{d_{1}}{2} + \sqrt{\frac{d_{1}^{2}}{4} + \frac{2 v_{1}^{2} d_{1}}{g}} = -1 + \sqrt{1 + \frac{2\times 900 \times 2}{32.2}} = -1 + \sqrt{112.8} = 9.62\ \text{ft} $$
Step 3. 도약 후 속도
$$ v_{2} = \frac{Q}{wd_{2}} = \frac{300}{5\times 9.62} = 6.24\ \text{ft/s} $$
Step 4. 에너지 차이
$$ \Delta E = \left(2 + \tfrac{900}{64.4}\right) - \left(9.62 + \tfrac{38.9}{64.4}\right) = 15.98 - 10.22 = 5.76\ \text{ft} $$
검증 — 간이공식 $\Delta E = (d_{2}-d_{1})^{3}/(4 d_{1}d_{2}) = 7.62^{3}/(4\times 2\times 9.62) = 5.75$ ft. 완전히 일치.
최종 답
$$\boxed{\Delta E \approx 5.6\ \text{ft}}$$
✔ 정답: D. 약 5.6

예제 2 · Fr = 1 인 정사각 수로의 수심

임계

직사각형 수로에 350 cfs. 깊이와 폭이 같고 (d = w), Froude 수가 1 일 때 수심 (ft) 은?

  • A. 약 4.3
  • B. 약 4.8
  • C. 약 5.1
  • D. 약 5.8

✅ 단계별 풀이

Fr = 1 조건
$$ Fr = \frac{v}{\sqrt{gd}} = 1,\qquad v = \frac{Q}{A} = \frac{Q}{d^{2}} $$
Step 1. 식 정리
$$ 1 = \frac{Q/d^{2}}{\sqrt{gd}} \;\Rightarrow\; d^{5/2} = \frac{Q}{\sqrt{g}} $$
Step 2. 대입
$$ d^{5/2} = \frac{350}{\sqrt{32.2}} = \frac{350}{5.675} = 61.67 $$
Step 3. 풀기
$$ d = 61.67^{2/5} = 5.12\ \text{ft} $$
최종 답
$$\boxed{d \approx 5.1\ \text{ft}}$$
✔ 정답: C. 약 5.1

예제 3 · 임계속도 (Critical Velocity)

Critical

폭 20 ft 직사각형 수로에 450 cfs. 임계속도 (ft/s) 는?

  • A. 약 3
  • B. 약 6
  • C. 약 9
  • D. 약 12

✅ 단계별 풀이

Step 1. 임계수심
$$ d_{c}^{3} = \frac{Q^{2}}{g w^{2}} = \frac{450^{2}}{32.2\times 20^{2}} = \frac{202{,}500}{12{,}880} = 15.72 $$ $$ d_{c} = 15.72^{1/3} = 2.51\ \text{ft} $$
Step 2. 임계속도
$$ v_{c} = \sqrt{g d_{c}} = \sqrt{32.2 \times 2.51} = 8.99\ \text{ft/s} $$
검증 — $v_{c} \cdot d_{c} \cdot w = 8.99 \times 2.51 \times 20 = 451$ cfs ≈ 450 ✓ 연속성 만족.
최종 답
$$\boxed{v_{c} \approx 9\ \text{ft/s}}$$
✔ 정답: C. 약 9

예제 4 · 수력도약 속도 감소량 Δv

Jump

직사각형 수로의 수력도약: 수심 2 ft → 6 ft. 속도 감소량 $v_{1} - v_{2}$ (ft/s) 는?

  • A. 약 4
  • B. 약 8
  • C. 약 13
  • D. 약 16

✅ 단계별 풀이

Step 1. v1 계산
$$ v_{1}^{2} = \frac{g d_{2}(d_{1}+d_{2})}{2 d_{1}} = \frac{32.2\times 6\times 8}{2\times 2} = 386.4 \;\Rightarrow\; v_{1} = 19.66\ \text{ft/s} $$
Step 2. v2 계산 (연속성 이용)
$$ v_{2} = v_{1}\cdot\frac{d_{1}}{d_{2}} = 19.66 \times \frac{2}{6} = 6.55\ \text{ft/s} $$
Step 3. 차이
$$ \Delta v = 19.66 - 6.55 \;=\; 13.1\ \text{ft/s} $$
최종 답
$$\boxed{\Delta v \approx 13\ \text{ft/s}}$$
✔ 정답: C. 약 13

예제 5 · Fr 로 유량 Q 역산

Froude

폭 10 ft 직사각형 수로, 수심 5 ft, Froude 수 0.8. 유량 (cfs) 은?

  • A. 약 500
  • B. 약 600
  • C. 약 700
  • D. 약 800

✅ 단계별 풀이

Step 1. 속도
$$ v = Fr\sqrt{gd} = 0.8 \times \sqrt{32.2\times 5} = 0.8 \times 12.69 = 10.15\ \text{ft/s} $$
Step 2. 유량
$$ Q = v\,A = v\cdot w\cdot d = 10.15\times 10\times 5 = 508\ \text{cfs} $$
흐름 구분 — $Fr = 0.8 < 1$ → subcritical (상류). 파가 상류로 전파 가능.
최종 답
$$\boxed{Q \approx 500\ \text{cfs}}$$
✔ 정답: A. 약 500

예제 6 · 수력도약 분류 (Steady Jump)

개념

Steady Hydraulic Jump 에 해당하는 Froude 수 범위는?

  • A. 1.0 < Fr < 1.7
  • B. 1.7 < Fr < 2.5
  • C. 2.5 < Fr < 4.5
  • D. 4.5 < Fr < 9.0

✅ 정리

Fr$_{1}$유형에너지 감쇄
1.0 – 1.7Undular (파형)<5%
1.7 – 2.5Weak5 – 15%
2.5 – 4.5Oscillating15 – 45%
4.5 – 9.0Steady45 – 70%
> 9.0Strong> 70%
설계 의미 — Stilling basin (정류지) 은 보통 Steady 영역에서 작동하도록 설계 → 최대 효율로 에너지 감쇄.
최종 답
$$\boxed{4.5 < Fr_{1} < 9.0}$$
✔ 정답: D

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8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 21 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. Fr > 1 인 흐름을 무엇이라 부르는가?

  • A. Subcritical (상류)
  • B. Supercritical (사류)
  • C. Critical (임계)
  • D. Laminar (층류)

Q2. 비에너지 $E$ 가 최소 가 되는 수심은?

  • A. 임계수심 $d_{c}$
  • B. 정상수심 $d_{n}$
  • C. 수심 0
  • D. 공액수심 $d_{2}$

Q3. 폭 5 ft 수로, 단위폭 유량 $q = 20$ cfs/ft. 임계수심 (ft) 은?

  • A. 약 1.2
  • B. 약 2.0
  • C. 약 2.3
  • D. 약 3.1

Q4. 직사각형 수로의 도약 $d_{1}=2$, $d_{2}=8$ ft. $\Delta E = (d_{2}-d_{1})^{3}/(4d_{1}d_{2})$ 은 대략 얼마?

  • A. 1.7 ft
  • B. 3.0 ft
  • C. 5.4 ft
  • D. 6.8 ft

Q5. Fr$_{1}$ = 3.0 인 수력도약은 어느 유형인가?

  • A. Weak
  • B. Oscillating
  • C. Steady
  • D. Strong

Q6. 임계속도 $v_{c}$ 를 나타내는 식은?

  • A. $v_{c} = g d_{c}$
  • B. $v_{c} = g d_{c}^{2}$
  • C. $v_{c} = \sqrt{g d_{c}}$
  • D. $v_{c} = \sqrt{2 g d_{c}}$

Q7. 공액수심 공식 $d_{2}/d_{1} = \tfrac{1}{2}(-1 + \sqrt{1+8Fr_{1}^{2}})$. Fr$_{1}$ = 3 이면 $d_{2}/d_{1}$ 는 약 얼마?

  • A. 3.77
  • B. 2.15
  • C. 5.10
  • D. 1.50

Q8. 폭 10 ft 수로, 수심 2 ft, Fr = 1.5. 유량 (cfs) 은?

  • A. 약 90
  • B. 약 120
  • C. 약 180
  • D. 약 240