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Module DW1 · 압력관 · 관망 · 펌프 심화

Closed Conduit Hydraulics — Friction Loss, Pipe Network, Pumps & NPSH (Depth)

🔗 선수 학습 — Breadth M21 (에너지·임계흐름) 의 베르누이·에너지 방정식을 압력관·펌프 응용으로 확장합니다.
이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. 에너지 방정식 (Bernoulli + 손실)

$$ \frac{p_1}{\gamma} + \frac{V_1^2}{2g} + z_1 + h_p = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{V_2^2}{2g} + z_2 + h_t + h_L $$ — $h_p$: 펌프 head, $h_t$: 터빈 head, $h_L = h_f + h_m$: 마찰 + 부차손실.

2. Darcy-Weisbach 마찰손실

$$ h_f = f \cdot \frac{L}{D} \cdot \frac{V^2}{2g} $$ — $f$: Darcy 마찰계수 (Moody diagram), Re & e/D 의 함수. 층류 ($Re < 2{,}300$): $f = 64/Re$. 난류는 Colebrook 식 또는 Swamee-Jain.

3. Hazen-Williams (상수도용 경험식)

SI: $\quad h_f = \dfrac{10.67 \, L \, Q^{1.852}}{C^{1.852} \, D^{4.87}}$  (L,D in m; Q in m³/s)

US: $\quad h_f = \dfrac{4.73 \, L \, Q^{1.852}}{C^{1.852} \, D^{4.87}}$  (L,D in ft; Q in cfs)

C 값: 신 PVC 150, 신 강관 130, 노후 강관 80~100, 콘크리트 120. 물 (10–25 °C) 외 적용 금지.

4. 부차손실 (Minor Loss)

$$ h_m = K \frac{V^2}{2g} $$ — 입구 K=0.5, 90° 엘보 K≈0.9, 게이트 밸브 (열림) K=0.15, 글로브 (열림) K≈10, 출구 K=1.0.

5. 직렬·병렬 관 시스템

직렬 (Series) — $Q_1 = Q_2 = Q_3$ (질량보존), $h_{f,\text{total}} = \sum h_{f,i}$.
병렬 (Parallel) — $h_{f,1} = h_{f,2} = h_{f,3}$ (같은 두 점 사이), $Q_{\text{total}} = \sum Q_i$.

6. 펌프 동력

$$ P_{\text{water}} = \gamma Q H_p \quad \text{(수동력)} $$ $$ P_{\text{shaft}} = \frac{\gamma Q H_p}{\eta_p} \quad \text{(축동력)} $$ $$ P_{\text{motor}} = \frac{\gamma Q H_p}{\eta_p \, \eta_m} \quad \text{(전동기 입력)} $$ — $\gamma_{water} = 9.81~\text{kN/m³}$ (SI) 또는 $62.4~\text{lb/ft³}$ (US).

7. NPSH (Net Positive Suction Head)

$$ \text{NPSH}_a = \frac{p_{\text{atm}} - p_v}{\gamma} - z_s - h_{f,\text{suction}} $$ — $z_s$: 펌프 흡입측 표고차 (펌프가 수면 위면 +), $p_v$: 포화증기압. NPSHa ≥ NPSHr + 안전여유 (≈ 1 m) 조건이 만족 안 되면 cavitation 발생.

8. Hardy Cross 관망 해석

각 폐회로에서 $\sum h_f = 0$ 조건 (Kirchhoff 전압법칙 유사). 보정 유량:

$$ \Delta Q = - \frac{\sum h_f}{\sum n |h_f/Q|} $$ — n=2 (Darcy-Weisbach), n=1.852 (Hazen-Williams). 시계방향 +, 반시계 −.
⚠️ 핵심 함정 — Depth 시험 단위 함정: Hazen-Williams SI 식의 Q 는 m³/s. L/s 로 주면 1000으로 나눠야. 또한 펌프 H 산출은 정양정 + 마찰손실 모두 포함.

📐 공식·기준 요약

① Darcy-Weisbach
$$ h_f = f \, \frac{L}{D} \, \frac{V^2}{2g}, \quad f_{\text{laminar}} = \frac{64}{Re} $$
② Hazen-Williams (SI)
$$ h_f = \frac{10.67\, L\, Q^{1.852}}{C^{1.852}\, D^{4.87}} $$
③ 부차손실
$$ h_m = K \frac{V^2}{2g} $$
④ 펌프 동력 (축)
$$ P = \frac{\gamma Q H}{\eta} $$
⑤ NPSH 가용
$$ \text{NPSH}_a = \frac{p_{atm}-p_v}{\gamma} - z_s - h_{f,s} $$
⑥ Hardy Cross 보정
$$ \Delta Q = -\frac{\sum h_f}{\sum n |h_f/Q|} $$

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · Darcy-Weisbach 마찰손실

Friction

직경 D = 0.5 m, 길이 L = 1,000 m, 평균유속 V = 2.0 m/s, 마찰계수 f = 0.02 인 수평관의 마찰손실 hf 는?

  • A. 약 4.1 m
  • B. 약 8.2 m
  • C. 약 12.2 m
  • D. 약 16.3 m

✅ 단계별 풀이

Step 1. 속도수두
$$ \frac{V^2}{2g} = \frac{(2.0)^2}{2 \times 9.81} = \frac{4}{19.62} \approx 0.2039~\text{m} $$
Step 2. Darcy 식 대입
$$ h_f = 0.02 \times \frac{1000}{0.5} \times 0.2039 = 0.02 \times 2000 \times 0.2039 \approx 8.16~\text{m} $$
최종 답
$$\boxed{h_f \approx 8.2~\text{m}}$$
✔ 정답: B. 약 8.2 m

예제 2 · 펌프 축동력

Pump Power

펌프 유량 Q = 0.10 m³/s, 양정 H = 20 m, 펌프 효율 ηp = 0.75. 축동력은 약 몇 kW 인가? (γw = 9.81 kN/m³)

  • A. 약 19.6 kW
  • B. 약 26.2 kW
  • C. 약 14.7 kW
  • D. 약 35.0 kW

✅ 단계별 풀이

Step 1. 수동력
$$ P_w = \gamma Q H = 9.81 \times 0.10 \times 20 = 19.62~\text{kW} $$
Step 2. 효율 보정
$$ P_{shaft} = \frac{P_w}{\eta_p} = \frac{19.62}{0.75} \approx 26.16~\text{kW} $$
최종 답
$$\boxed{P_{shaft} \approx 26.2~\text{kW}}$$
✔ 정답: B. 약 26.2 kW

예제 3 · NPSH 가용 (NPSHa)

NPSH

대기압 10.33 m, 포화증기압 0.24 m (수두 환산, 20 °C), 펌프가 수면 위 zs = 3.0 m, 흡입관 마찰손실 hf,s = 1.2 m. NPSHa 는 약 몇 m?

  • A. 약 4.4 m
  • B. 약 5.9 m
  • C. 약 7.1 m
  • D. 약 8.9 m

✅ 단계별 풀이

Step 1. 공식 대입
$$ \text{NPSH}_a = \frac{p_{atm}-p_v}{\gamma} - z_s - h_{f,s} $$ $$ = (10.33 - 0.24) - 3.0 - 1.2 $$ $$ = 10.09 - 4.20 = 5.89~\text{m} $$
판정 — 펌프 카탈로그 NPSHr 가 4 m 면 NPSHa = 5.9 m > NPSHr + 1 m 안전여유 → cavitation 우려 없음.
최종 답
$$\boxed{\text{NPSH}_a \approx 5.9~\text{m}}$$
✔ 정답: B. 약 5.9 m

🎯 실전 미니 퀴즈 8 문제 · 48 분

48:00

Q1. 층류 (Re < 2,300) 에서 Darcy 마찰계수 f 의 값은?

  • A. 0.02 일정
  • B. 64/Re
  • C. 16/Re
  • D. Re/64

Q2. Hazen-Williams 식의 적용 범위로 옳지 않은 것은?

  • A. 상수도 분배계 (만관)
  • B. 직경 50 mm 이상
  • C. 압축성 기체 흐름
  • D. 물 10–25 °C 범위

Q3. 직경 0.3 m, 길이 500 m, V=1.5 m/s, f=0.025 일 때 hf 는 약 몇 m?

  • A. 약 4.8
  • B. 약 9.6
  • C. 약 2.4
  • D. 약 14.3

Q4. 두 관 A, B 가 같은 두 점 사이에 병렬 연결. hf,A = hf,B 일 때 옳은 것은?

  • A. QA = QB 항상
  • B. VA = VB 항상
  • C. Qtotal = QA = QB
  • D. Qtotal = QA + QB

Q5. 펌프 Q=0.05 m³/s, H=15 m, η=0.70 일 때 축동력은 약 몇 kW?

  • A. 약 7.4
  • B. 약 10.5
  • C. 약 15.0
  • D. 약 5.1

Q6. NPSHa < NPSHr 일 때 발생하는 현상은?

  • A. 양정 증가
  • B. 효율 증가
  • C. 캐비테이션 발생
  • D. 회전수 증가

Q7. Hardy Cross 보정식에서 H-W 적용 시 분모 지수 n 은?

  • A. 1.852
  • B. 2.0
  • C. 4.87
  • D. 0.63

Q8. 90° 엘보 K=0.9, V=2 m/s 의 부차손실은 약 몇 m?

  • A. 0.10
  • B. 0.18
  • C. 0.40
  • D. 0.90