Module 27 · 기하·선형설계 — PE Civil 학습 허브

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념
📐 공식·기준 요약
💡 유형별 예제 (6)
🎯 실전 미니 퀴즈 (8문제 · 48분)

📖 핵심 개념

1. 수평곡선 (Circular Curve) 용어

기호	의미
PC	Point of Curvature — 탄젠트→곡선 시작점
PT	Point of Tangency — 곡선→탄젠트 종점
PI	Point of Intersection — 두 탄젠트 교차점
$\Delta$ (또는 $I$)	교각 (intersection angle)
$R$	곡선 반경
$L$	곡선 길이 (arc)
$T$	Tangent 길이 = $R\tan(\Delta/2)$
$LC$	Long Chord = $2R\sin(\Delta/2)$
$M$	Middle Ordinate = $R(1-\cos(\Delta/2))$
$E$	External = $R(\sec(\Delta/2) - 1)$

곡선 길이 (arc 정의)

$$ L \;=\; \frac{2\pi R \Delta}{360°} \;=\; R\Delta_{\text{rad}} $$

수평 원곡선의 주요 요소

2. Stationing (측점)

측점은 100 ft 단위. 예: 150+50.00 = 15,050 ft. 곡선 상의 측점 이동:

곡선 측점 진행

$$ \text{PT station} = \text{PC station} + L $$ $$ \text{Mid-curve station} = \text{PC} + L/2 $$

3. 수직곡선 (Vertical Curve) — 2차 포물선

두 종단 경사 $G_{1}, G_{2}$ 를 잇는 포물선. Crest (산) 는 $G_{1}>0, G_{2}<0$, Sag (골) 는 반대.

포물선 편차

$$ y(x) \;=\; -\frac{G_{2} - G_{1}}{2L}\,x^{2} \;=\; \frac{A}{2L}\,x^{2}\quad (A = |G_{2} - G_{1}|) $$

PVI 중앙 편차

$$ E \;=\; \frac{A L}{8}\quad (A, L\ \text{동일 단위})\ \text{또는}\ E = \frac{A\,\%\cdot L}{800} $$

최고·최저점 위치 (PVC 로부터)

$$ x^{*} \;=\; \frac{L\,G_{1}}{G_{1} - G_{2}} $$

부호 주의: $G_{1}>0, G_{2}<0$ (Crest) 이면 $x^{*}$ 양수, $L$ 이내면 곡선상 고점 존재.

4. Transition (Spiral) Curve 길이

최소 전이 길이

$$ L_{s} \;=\; \frac{3.15\,V^{3}}{R\,C} $$

$V$ = mph, $R$ = ft, $C$ = 원심 가속도 변화율 (ft/s³, 대개 1–3),
$L_{s}$ = ft. Barnett 공식.

5. K-값과 SSD

수직 곡률율

$$ K \;=\; \frac{L}{A}\ \ (\text{ft/\%}) $$

Crest/Sag 별 설계속도에 따른 최소 $K$ 가 AASHTO 제공. SSD 지배: $K$ 가 크면 완만한 곡선, 시야 확보.

6. 수직곡선 주요 측점

PVC: Point of Vertical Curvature = PVI − $L/2$
PVT: Point of Vertical Tangency = PVI + $L/2$
PVI: 두 종단 경사 교점
고/저점 elevation: $Y(x^{*}) = \text{PVC elev} + G_{1}\,x^{*} - \dfrac{A}{2L}(x^{*})^{2}$

📐 공식·기준 요약

개념	공식/기준	비고
곡선 길이	$L = 2\pi R\Delta/360$	arc, $\Delta$ in °
Long chord	$LC = 2R\sin(\Delta/2)$
Tangent 길이	$T = R\tan(\Delta/2)$
Middle ordinate	$M = R(1-\cos(\Delta/2))$
External	$E = R(\sec(\Delta/2)-1)$
전이곡선	$L_{s} = 3.15 V^{3}/(RC)$	$V$ mph
수직 포물선	$y = \dfrac{A}{2L}x^{2}$	PVC 로부터
PVI 편차	$E = AL/8$ (decimal A)	$= AL/800$ (%)
극점 $x^{*}$	$LG_{1}/(G_{1} - G_{2})$	PVC 로부터
K 값	$K = L/A$	ft/%
도-라디안	$\Delta_{rad} = \Delta°\cdot\pi/180$
Station 단위	100 ft 당 +1
Degree of Curve (Arc)	$D = 5729.58/R$	US 관습

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · 원곡선 길이 (Δ, R 주어짐)

Arc

두 탄젠트의 방위각이 N 85°28'15" E 와 N 63°25'36" E 이고 반경 $R = 600$ ft 원곡선을 삽입한다. 곡선 길이 (ft) 는?

A. 약 160
B. 약 170
C. 약 200
D. 약 230

✅ 단계별 풀이

Step 1. 교각 Δ

$$ \Delta = 85°28'15" - 63°25'36" = 22°02'39" \approx 22.044° $$

Step 2. Arc 길이

$$ L = \frac{2\pi R\Delta}{360} = \frac{2\pi\times 600\times 22.044}{360} = 230.8\ \text{ft} $$

최종 답

$$\boxed{L \approx 230\ \text{ft}}$$

✔ 정답: D. 약 230

예제 2 · 반경 역산 (L, Δ 주어짐)

Circular

호의 길이 781 ft 10.9 in 이 중심각 $40°$ 를 이룬다. 반경 (ft) 은?

A. 900
B. 1,000
C. 1,100
D. 1,200

✅ 단계별 풀이

Step 1. 길이 환산

$$ L = 781\ \text{ft} + 10.9\ \text{in}\times \tfrac{1}{12} = 781.908\ \text{ft} $$

Step 2. R 역산

$$ R = \frac{L\times 360}{2\pi \Delta} = \frac{781.908\times 360}{2\pi\times 40} = 1{,}120\ \text{ft} $$

최종 답

$$\boxed{R \approx 1{,}100\ \text{ft}}$$

✔ 정답: C. 1,100

예제 3 · 곡선 중간점 측점

Stationing

두 탄젠트가 $\Delta = 110°$ 에서 만나고 PC–PT 를 잇는 Long Chord 가 600 ft. PC 측점이 150+00 이라면 곡선 중간점 측점은?

A. 150+50
B. 153+00
C. 153+50
D. 155+00

✅ 단계별 풀이

Step 1. 반경

$$ LC = 2R\sin(\Delta/2)\;\Rightarrow\; R = \frac{600}{2\sin 55°} = \frac{600}{1.638} = 366.2\ \text{ft} $$

Step 2. 곡선 길이

$$ L = \frac{\pi R\Delta}{180} = \frac{\pi\times 366.2\times 110}{180} = 702.8\ \text{ft} $$

Step 3. 중간점 측점

$$ \text{Mid} = \text{PC} + L/2 = 15{,}000 + 351.4 = 15{,}351.4\ \text{ft} = 153+51.4 $$

최종 답

$$\boxed{\approx 153+50}$$

✔ 정답: C. 153+50

예제 4 · 수직곡선 PVI 편차

Vertical

종단 경사 −1% 에서 −2% 로 이어지는 L = 700 ft 포물선 곡선. PVI 에서의 수직 편차 (in) 는?

A. 6
B. 10
C. 12
D. 18

✅ 단계별 풀이

Step 1. 대수적 차

$$ A = |G_{2} - G_{1}| = |-2 - (-1)| = 1\% = 0.01 $$

Step 2. PVI 편차

$$ E = \frac{A L}{8} = \frac{0.01\times 700}{8} = 0.875\ \text{ft} = 10.5\ \text{in} $$

최종 답

$$\boxed{E \approx 10\ \text{in}}$$

✔ 정답: B. 10

예제 5 · Sag 곡선 길이 증가

Sag

L = 600 ft Sag 곡선이 $-4\%, +4\%$ 경사를 잇는다. 같은 경사를 유지하면서 중앙 Elevation 을 2 ft 더 올리려면 곡선을 몇 ft 늘려야 하는가?

A. 100
B. 200
C. 600
D. 800

✅ 단계별 풀이

Sag/Crest 중앙 편차

$$ E = \frac{A\cdot L}{800}\quad (A\ \text{in } \%,\ L, E\ \text{in ft}) $$

Step 1. 기존 E

$$ A = |+4 - (-4)| = 8\%,\qquad E_{1} = \frac{8\times 600}{800} = 6\ \text{ft} $$

Step 2. 새 E

$$ E_{2} = 6 + 2 = 8\ \text{ft} $$

Step 3. 새 L

$$ L_{2} = \frac{800 E_{2}}{A} = \frac{800\times 8}{8} = 800\ \text{ft} $$ $$ \Delta L = 800 - 600 = 200\ \text{ft} $$

최종 답

$$\boxed{\Delta L = 200\ \text{ft}}$$

✔ 정답: B. 200

예제 6 · Crest 곡선 고점 측점

Crest

PVI Station = 27+00, PVI Elev = 1,092.78 ft, $G_{1} = +3.5\%$, $G_{2} = -2.5\%$, $L = 1{,}200$ ft. 고점의 측점은?

A. 25+00
B. 27+30
C. 28+00
D. 32+00

✅ 단계별 풀이

Step 1. PVC 측점

$$ \text{PVC} = \text{PVI} - L/2 = 27+00 - 6+00 = 21+00 $$

Step 2. PVC 로부터 고점까지

$$ x^{*} = \frac{L\,G_{1}}{G_{1}-G_{2}} = \frac{1200\times 3.5}{3.5-(-2.5)} = \frac{4200}{6} = 700\ \text{ft} $$

Step 3. 고점 측점

$$ \text{Hi-pt} = \text{PVC} + 700 = 21+00 + 7+00 = 28+00 $$

검증 — 고점은 PVC–PVT 사이(0–1200 ft 구간) 의 700 ft 위치 → 유효.

최종 답

$$\boxed{28+00}$$

✔ 정답: C. 28+00

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 27 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. 원곡선 arc 길이 공식은?

A. $L = R\Delta°$
B. $L = 2\pi R\Delta/360$
C. $L = R\sin\Delta$
D. $L = R(1-\cos\Delta)$

Q2. $R = 500$ ft, $\Delta = 30°$ 원곡선의 Long Chord (ft) 는?

A. 약 130
B. 약 180
C. 약 259
D. 약 500

Q3. PVI Station 20+00, $L = 800$ ft. PVC 는?

A. 16+00
B. 18+00
C. 20+00
D. 24+00

Q4. Crest curve: $G_{1}=+2\%$, $G_{2}=-3\%$, $L = 500$ ft. PVI 에서의 수직 편차 (ft) 는?

A. 0.31
B. 1.25
C. 2.50
D. 3.13

Q5. 수직곡선 $K$ 값의 정의는?

A. $A\cdot L$
B. $L/A$
C. $A/L$
D. $L\cdot A/2$

Q6. 고점 위치 $x^{*}$ 가 PVC 로부터 $L$ 을 초과하면?

A. 계산 오류
B. 곡선 시작점이 고점
C. 곡선 내 극점 없음 (끝까지 단조 증가/감소)
D. PVI 가 고점

Q7. $V = 60$ mph, $R = 1500$ ft, $C = 2$ ft/s³. 전이곡선 $L_{s}$ (ft) 는?

A. 약 227
B. 약 340
C. 약 450
D. 약 570

Q8. PC Station 120+00, $L = 450$ ft 일 때 PT 측점은?

A. 120+45
B. 122+25
C. 124+00
D. 124+50