Module 16 · 구조해석 II — PE Civil 학습 허브

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념
📐 공식·기준 요약
💡 유형별 예제 (6)
🎯 실전 미니 퀴즈 (8문제 · 48분)

📖 핵심 개념

1. 전단·모멘트 다이어그램 관계

미분 관계

$$ \dfrac{dV}{dx} = -w(x), \qquad \dfrac{dM}{dx} = V(x) $$

즉 분포하중 기울기로 V 감소, V 값이 M 의 기울기. V = 0 인 곳에서 M 최대 또는 최소.

2. 대표 보 공식

보·하중	최대 모멘트	최대 처짐
단순보 · 중앙 P	$PL/4$	$PL^3/(48EI)$
단순보 · 균등 w	$wL^2/8$	$5wL^4/(384EI)$
캔틸레버 · 자유단 P	$PL$ (고정단)	$PL^3/(3EI)$
캔틸레버 · 균등 w	$wL^2/2$ (고정단)	$wL^4/(8EI)$

3. 휨 응력 (Flexure Formula)

σ = Mc/I

$$ \sigma \;=\; \dfrac{M \cdot c}{I} \;=\; \dfrac{M}{S} $$

$c$ = 중립축에서 가장 먼 섬유까지 거리, $I$ = 단면 2차 모멘트, $S = I/c$ = 단면계수 (Section Modulus).

4. 자주 쓰는 단면 성질

단면	$I$ (도심축)	$S$ (도심축)
사각형 $b \times h$	$bh^3/12$	$bh^2/6$
원형 $d$	$\pi d^4/64$	$\pi d^3/32$
원통 중공 $d_o, d_i$	$\pi(d_o^4 - d_i^4)/64$	$\pi(d_o^4 - d_i^4)/(32 d_o)$

5. 삼각 하중 · 이동 Shear Zero

삼각형 분포 하중을 받는 보의 전단 0 지점 은 단순히 L/2 가 아닙니다. 총 하중의 합력 위치(centroid)가 비대칭이기 때문. 반력을 먼저 구하고 누적 하중 = 좌측 반력 조건으로 x 찾기.

6. Ultimate Moment · RC 보

사용 하중 → 계수를 곱해 계수 모멘트 $M_u$. ACI 318 주요 조합: $M_u = 1.2 M_D + 1.6 M_L$ (중력 지배).

📐 공식·기준 요약

개념	공식/기준	비고
V, M 미분 관계	$dV/dx = -w$, $dM/dx = V$	V=0 → M 극값
단순보 중앙 P	$M_{\max} = PL/4$
단순보 UDL	$M_{\max} = wL^2/8$
캔틸레버 자유단 P	$M_{\max} = PL$	고정단
캔틸레버 UDL	$M_{\max} = wL^2/2$	고정단
휨 응력	$\sigma = Mc/I = M/S$	Flexure
사각형 I, S	$bh^3/12$, $bh^2/6$	도심축
원형 I, S	$\pi d^4/64$, $\pi d^3/32$
W12x26 $S_x$	33.4 in³	AISC Manual
$M_u$ (ACI 318)	$1.2 M_D + 1.6 M_L$	중력 지배
Self weight RC	$w = A \times \gamma_c$	$\gamma_c \approx 150$ lb/ft³
1 k·ft	12 k·in	단위 환산

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · 캔틸레버 — 고정단 수직 반력

Reaction

L = 10 ft 캔틸레버 보에 w = 30 lb/ft 균등 분포 하중이 전 구간에 작용한다. 고정단의 수직 반력 (lb)은?

A. 약 100
B. 약 200
C. 약 300
D. 약 600

✅ 단계별 풀이

수직 평형

$$ R \;=\; w \cdot L \;=\; 30 \times 10 \;=\; 300\ \text{lb} $$

참고 — 고정단 반력 모멘트는 $wL^2/2 = 30 \times 100 / 2 = 1{,}500$ lb·ft.

최종 답

$$\boxed{R = 300\ \text{lb}}$$

✔ 정답: C. 300 lb

예제 2 · 삼각 하중 — Shear Zero 지점

Shear

L = 20 ft 단순지지 보. 좌측 지점에서 350 lb/ft 로 시작해 보의 중앙(10 ft) 에서 0 까지 선형 감소하는 하중. 중앙 이후는 하중 없음. 전단 V = 0 인 지점 (왼쪽 끝 기준) 은?

A. 약 0.87 ft
B. 약 4.1 ft
C. 약 5.9 ft
D. 약 14.1 ft

✅ 단계별 풀이

Step 1. 총 하중 및 centroid

$$ W \;=\; \tfrac{1}{2} \times 350 \times 10 \;=\; 1{,}750\ \text{lb} $$

centroid (왼쪽 끝 기준): $10/3 \approx 3.33$ ft

Step 2. 우측 지점 반력 (모멘트 합 about B)

$$ R_A \cdot 20 \;=\; 1{,}750 \times (20 - 3.33) \;=\; 1{,}750 \times 16.67 $$ $$ R_A \;\approx\; 1{,}458\ \text{lb} $$

Step 3. 전단 V(x) = 0

하중 밀도: $w(\xi) = 350(1 - \xi/10)$ for $0 \le \xi \le 10$.

$$ V(x) \;=\; R_A - \int_0^x 350(1 - \xi/10)\, d\xi \;=\; 1{,}458 - 350x + 17.5 x^2 $$ $$ 17.5x^2 - 350x + 1{,}458 = 0 $$ $$ x \;=\; \dfrac{350 \pm \sqrt{122{,}500 - 102{,}060}}{35} \;=\; \dfrac{350 \pm 142.97}{35} $$ $$ x \approx 5.92\ \text{ft}\ (\text{유효 근}) $$

검증 — 다른 근 $x \approx 14.08$ ft 는 [10 ft, 20 ft] 구간 (하중 없음). 이 구간의 V 는 상수이므로 의미 없음. 따라서 유효 근은 5.92 ft.

최종 답

$$\boxed{x \approx 5.9\ \text{ft}}$$

✔ 정답: C. 약 5.9 ft

예제 3 · 단순보 중앙 집중하중 — 최대 BM

Mmax

20 ft 단순지지 보 중앙에 10 kip 집중 하중. 자중 무시. 최대 휨 모멘트 (k·ft) 와 위치는?

A. 25 k·ft, 중앙
B. 50 k·ft, 중앙
C. 100 k·ft, 중앙
D. 50 k·ft, 지점 A

✅ 단계별 풀이

$$ M_{\max} \;=\; \dfrac{PL}{4} \;=\; \dfrac{10 \times 20}{4} \;=\; 50\ \text{k·ft} $$

위치: 하중 작용 지점 (= 중앙).

일반화 — 단순보에서는 V = 0 지점이 곧 M 의 극값 위치. 중앙 집중하중의 경우 양쪽 지점에서 각 P/2 반력, 중앙에서 V 가 뒤집히며 M 최대.

최종 답

$$\boxed{M_{\max} = 50\ \text{k·ft at midspan}}$$

✔ 정답: B. 50 k·ft, 중앙

예제 4 · W12×26 휨 응력

Flexure

W12×26 (단면계수 $S_x$ = 33.4 in³) 단순지지 보, L = 15 ft, 중앙에 P = 25 kip. 자중 무시. 최대 휨 응력 (ksi)는?

A. 약 18
B. 약 34
C. 약 42
D. 약 94

✅ 단계별 풀이

Step 1. 최대 모멘트

$$ M \;=\; \dfrac{PL}{4} \;=\; \dfrac{25 \times (15 \times 12)}{4} \;=\; \dfrac{25 \times 180}{4} \;=\; 1{,}125\ \text{k·in} $$

Step 2. 휨 응력

$$ \sigma \;=\; \dfrac{M}{S_x} \;=\; \dfrac{1{,}125}{33.4} \;\approx\; 33.7\ \text{ksi} $$

단위 일관성 — M 은 kip·in, S_x 는 in³ → σ 는 kip/in² = ksi. 깨끗함. 실무에서 A36 강재($F_y = 36$ ksi)라면 34 ksi 는 항복 근접.

최종 답

$$\boxed{\sigma \approx 34\ \text{ksi}}$$

✔ 정답: B. 약 34 ksi

예제 5 · 캔틸레버 휨 응력 (SI 단위)

Flexure · SI

6 m 강재 캔틸레버 보, 단면 50 mm × 80 mm (b × h), 자유단에 1.5 kN 수직 하중. 고정단에서 최대 압축 휨 응력 (kPa)은?

A. 약 170,000
B. 약 210,000
C. 약 500,000
D. 약 1,700,000

✅ 단계별 풀이

Step 1. 최대 모멘트

$$ M \;=\; P \cdot L \;=\; 1{,}500\ \text{N} \times 6{,}000\ \text{mm} \;=\; 9 \times 10^{6}\ \text{N·mm} $$

Step 2. 단면계수 (h 를 깊이 방향)

$$ S \;=\; \dfrac{b\,h^2}{6} \;=\; \dfrac{50 \times 80^2}{6} \;=\; \dfrac{320{,}000}{6} \;\approx\; 53{,}333\ \text{mm}^3 $$

Step 3. 휨 응력

$$ \sigma \;=\; \dfrac{M}{S} \;=\; \dfrac{9 \times 10^{6}}{53{,}333} \;\approx\; 168.75\ \text{N/mm}^2 \;=\; 168.75\ \text{MPa} \;=\; 168{,}750\ \text{kPa} $$

단위 주의 — MPa = N/mm² = 10³ kPa. 숫자 변환 실수에 주의.

최종 답

$$\boxed{\sigma \approx 170{,}000\ \text{kPa}}$$

✔ 정답: A. 약 170,000 kPa

예제 6 · RC 캔틸레버 Ultimate Moment

ACI 318

L = 10 ft RC 캔틸레버, 단면 12 in × 20 in, $\gamma_c$ = 150 lb/ft³, 자유단에 활하중 집중 P_L = 7 kip. 계수 모멘트 (k·ft) 는?
$M_u = 1.2 M_D + 1.6 M_L$ 적용.

A. 약 125
B. 약 150
C. 약 200
D. 약 250

✅ 단계별 풀이

Step 1. 자중

$$ w_D \;=\; \dfrac{12 \times 20}{144} \times 150 \;=\; 1.667 \times 150 \;=\; 250\ \text{lb/ft} $$

Step 2. 사하중 모멘트 (고정단)

$$ M_D \;=\; \dfrac{w_D L^2}{2} \;=\; \dfrac{250 \times 100}{2} \;=\; 12{,}500\ \text{lb·ft} $$

Step 3. 활하중 모멘트

$$ M_L \;=\; P_L \cdot L \;=\; 7{,}000 \times 10 \;=\; 70{,}000\ \text{lb·ft} $$

Step 4. 계수 조합

$$ M_u \;=\; 1.2(12{,}500) + 1.6(70{,}000) \;=\; 15{,}000 + 112{,}000 \;=\; 127{,}000\ \text{lb·ft} \;\approx\; 127\ \text{k·ft} $$

실무 팁 — 자중은 보통 결정적이지 않지만 장대 캔틸레버·교량 등은 무시 불가. 활하중이 더 큰 factor(1.6) 적용되어 지배적.

최종 답

$$\boxed{M_u \approx 125\ \text{k·ft}}$$

✔ 정답: A. 약 125 k·ft

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 16 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. 휨 공식 $\sigma = Mc/I$ 에서 $c$ 는?

A. 중립축에서 가장 먼 섬유까지 거리
B. 단면 총 높이
C. 재료의 고유 상수
D. 부재 길이

Q2. Section Modulus $S$ 의 정의는?

A. $I \cdot c$
B. $I / c$
C. $I^2$
D. $A \cdot h$

Q3. 도심축을 통과하는 사각형 ($b \times h$) 단면의 $I$ 는?

A. $bh^3/12$
B. $bh^3/3$
C. $b^2 h/6$
D. $bh/2$

Q4. 단순보 L = 20 ft 중앙에 10 kip. $M_{\max}$ (k·ft) 는?

A. 25
B. 50
C. 100
D. 200

Q5. 단순보 L = 10 ft 에 균등 $w = 2$ k/ft. $M_{\max}$ (k·ft) 는?

A. 10
B. 20
C. 25
D. 100

Q6. 캔틸레버 L = 5 ft, 자유단 P = 6 kip. 고정단 $M_{\max}$ (k·ft) 는?

A. 7.5
B. 15
C. 30
D. 60

Q7. 캔틸레버 L = 4 ft, 균등 $w = 2$ k/ft. 고정단 $M_{\max}$ (k·ft) 는?

A. 16
B. 8
C. 32
D. 4

Q8. 12 ft 강재 캔틸레버, 자유단 500 lb, $E = 29 \times 10^6$ psi, $I = 50$ in⁴. 처짐 (in) 은?

A. 약 0.20
B. 약 0.35
C. 약 0.50
D. 약 0.75