홈 › Topic 3 · Structures › Module 15

Module 15 · 재료역학

Mechanics of Materials

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. 응력-변형률 곡선 (Stress-Strain Curve)

인장 시험(ASTM E8)으로 얻는 곡선은 재료의 기본 성질을 담습니다. 주요 지점: 비례한도 → 탄성한도 → 항복점 → 극한강도 → 파단점.

ε (변형률) σ (응력) 항복점 (σ_y) 극한강도 파단
대표적 연성 금속의 응력-변형률 곡선

2. 주요 정의

용어정의 / 의미
Modulus of Elasticity ($E$)탄성 영역에서 응력/변형률 비 (Hooke 법칙: σ = E ε)
Yield Strength ($\sigma_y$)영구 변형(소성)이 시작되는 응력
Ultimate Strength시험 중 최대 응력
Resilience영구 변형 없이 에너지를 흡수·방출하는 능력. σ-ε 곡선 중 탄성 영역 아래 면적
Toughness파단까지 흡수하는 총 에너지. σ-ε 곡선 전체 아래 면적
Ductility파단 전 큰 소성 변형을 허용하는 성질 (연신율)
Brittleness탄성 영역 거의 바로 파단 (소성 거의 없음)
Stiffness동일 응력에 대한 변형 저항 (E 값 큼)

3. 중립축 (Neutral Axis) · 변곡점 (Inflection Point)

중립축은 휨을 받는 보 단면의 길이 변화(normal strain)가 0 인 축. 등질 재료의 탄성 휨에선 단면의 도심축과 일치합니다.

변곡점 (Point of Contraflexure)은 보의 곡률이 볼록↔오목 전환되는 지점. 굽힘 모멘트가 부호를 바꾸는 (M=0) 위치이기도 합니다.

4. Müller-Breslau Principle

정정·부정정 구조에서 영향선을 구하는 대안 방법. "어떤 반력·전단·모멘트 함수의 영향선은, 대응하는 구속을 제거하고 단위 변위를 부여했을 때의 변형 형상에 비례한다."

5. 축하중 응력 · 인장 시편

축하중 응력
$$ \sigma \;=\; \dfrac{P}{A}, \qquad \varepsilon \;=\; \dfrac{\Delta L}{L_0}, \qquad \sigma = E \varepsilon $$

6. 기타 주요 상수

기호정의대표값
$\nu$Poisson 비 (측방/축방 변형비)강재 ≈ 0.30, 콘크리트 ≈ 0.15–0.20
$G$전단 탄성계수$G = E / [2(1+\nu)]$
$\alpha$열팽창계수강재 ≈ 6.5 × 10⁻⁶ /°F

📐 공식·기준 요약

개념공식/기준비고
Hooke 법칙$\sigma = E \varepsilon$탄성 영역
축 응력$\sigma = P/A$균일 분포 가정
공학 변형률$\varepsilon = \Delta L / L_0$
Modulus of Resilience$U_R = \sigma_y^2 / (2E)$탄성 영역 아래 면적
Toughnessσ-ε 곡선 전체 면적파단 에너지
전단 탄성계수$G = E/[2(1+\nu)]$등방성 재료
열 변형률$\varepsilon_T = \alpha \Delta T$구속 없는 경우
중립축 변형률0휨 가정
Inflection 점$M = 0$부호 변화
Müller-Breslau영향선 ∝ 변형 형상단위 변위 부여
강재 $E$29,000 ksi = 200 GPa
콘크리트 $E$$57{,}000\sqrt{f_c'}$ psiACI 경험식

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · "Resilient" 재료의 정의

개념

Resilient (탄력 있는) 재료에 대한 설명으로 가장 적절한 것은?

  • A. 항복 강도가 높다
  • B. 연성이 매우 크다
  • C. 영구 변형 없이 변형 에너지를 흡수·방출할 수 있다
  • D. 열팽창·수축이 크다

✅ 개념 정리

Resilience — 탄성 영역 에너지 지표
$$ U_R \;=\; \dfrac{\sigma_y^2}{2E} $$ σ-ε 곡선의 탄성 영역 아래 면적. 용수철·완충재·신발 밑창 등에 중요.
구분 — Toughness 는 전체 곡선 면적(파단까지 흡수 에너지). Resilience 는 탄성 영역만.
최종 답
$$\boxed{(\text{C}) \text{ 영구 변형 없이 변형 에너지 흡수·방출}}$$
✔ 정답: C

예제 2 · Toughness 의 정의

개념

Toughness (인성) 의 가장 적절한 정의는?

  • A. 탄성적으로 팽창할 수 있는 능력
  • B. 가끔 높은 응력을 견딜 수 있는 능력
  • C. 반복 하중·하중 해제를 견딜 수 있는 능력
  • D. 파단 전까지 에너지를 흡수할 수 있는 능력

✅ 개념 정리

Toughness
σ-ε 곡선 전체 면적 = 파단까지 단위 체적 당 흡수 에너지. 단위: (힘 × 거리)/체적 = 에너지/체적.
실전 응용 — 충격하중·지진 설계에서 중요. 연성 강재(ductile)는 tough. 취성 재료(주철)는 강도 높아도 tough 하지 못함.
최종 답
$$\boxed{(\text{D}) \text{ 파단 전 에너지 흡수}}$$
✔ 정답: D

예제 3 · 응력-변형률 곡선 비교 — A vs B

Stress-Strain

아래 두 재료 A, B 의 응력-변형률 곡선이 주어졌다 (B는 더 가파르고 높은 ultimate strength, 적은 연신율). 재료 A 는 B 에 비해:

  • A. 덜 단단(less stiff)하고 약하다(weaker)
  • B. 덜 연성(less ductile)이고 약하다
  • C. 더 연성이고 강하다
  • D. 더 단단하고 강하다

✅ 용어 판정

  • Stiffness: 탄성 영역 기울기($E$). A 가 완만하면 less stiff.
  • Ductility: 파단까지 변형률(x 방향 연장). A 가 길면 more ductile.
  • Strength: σ_y 또는 극한강도. B 가 높으면 A 는 weaker.
판정 — A: less stiff(완만), less strong(낮음), more ductile(길음). → (A) "less stiff and weaker" 가 정답.
최종 답
$$\boxed{(\text{A}) \text{ less stiff and weaker}}$$
✔ 정답: A

예제 4 · 축하중 압축 응력

Axial

정사각 단면 3 in × 3 in 강재 기둥에 축하중 7,200 lb 가 도심에 가해졌다. 평균 압축 응력 (psi)은?

  • A. 400
  • B. 800
  • C. 1,200
  • D. 1,600

✅ 단계별 풀이

Step 1. 단면적
$$ A \;=\; 3 \times 3 \;=\; 9\ \text{in}^2 $$
Step 2. 응력
$$ \sigma \;=\; \dfrac{P}{A} \;=\; \dfrac{7{,}200}{9} \;=\; 800\ \text{psi} $$
함정 — 하중이 도심 밖(편심)이면 굽힘 응력이 추가되어 단순 σ = P/A 로 불충분. 문제에 "도심에 작용" 이 명시되어야 P/A 사용.
최종 답
$$\boxed{\sigma = 800\ \text{psi}}$$
✔ 정답: B. 800 psi

예제 5 · Müller-Breslau Principle 의 용도

개념

Müller-Breslau Principle 은 다음 중 어떤 분야에 주로 사용되는가?

  • A. 비틀림 (Torsion)
  • B. 좌굴 (Buckling)
  • C. 영향선 (Influence Lines)
  • D. 처짐 (Deflections) 계산

✅ 개념 정리

정리

"어떤 함수의 영향선 ordinate 는, 해당 구속을 제거하고 단위 변위를 부여했을 때 얻어지는 변형 형상에 비례한다."

활용 — 부정정 구조의 영향선 스케치에 특히 유용. 복잡한 계산 없이 기하학적 형상 만으로 영향선의 형태를 파악.
최종 답
$$\boxed{(\text{C}) \text{ 영향선}}$$
✔ 정답: C

예제 6 · 중립축 vs 변곡점

Neutral Axis

보의 길이 방향 정상 변형률(normal strain)이 0 인 축을 무엇이라 부르는가?

  • A. 도심축 (Centroid)
  • B. 중립축 (Neutral Axis)
  • C. 변곡점 (Point of Contraflexure)
  • D. 압축축 (Compression Axis)

✅ 개념 정리

정의
Neutral Axis (중립축) — 보 단면에서 변형률 ε = 0 인 축. 위는 압축, 아래는 인장(또는 반대). 등질 재료·선형 탄성 가정에선 도심축과 일치.
혼동 주의
  • Centroid = 단면의 기하학적 중심 (면적 1차 모멘트 0)
  • Point of Contraflexure = 보의 길이 방향 위치, 모멘트 부호 전환 지점
  • Neutral Axis = 단면 횡방향 축, 변형률 0 위치
최종 답
$$\boxed{(\text{B}) \text{ Neutral Axis}}$$
✔ 정답: B. Neutral Axis

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 15 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. 탄성계수 $E$ 의 정의는?

  • A. 탄성 영역에서 응력 ÷ 변형률
  • B. 응력 × 변형률
  • C. 응력 × 단면적
  • D. 변형률 / 응력

Q2. Yield Point 를 넘은 후 재료에 발생하는 변형은?

  • A. 완전 탄성 회복
  • B. 즉시 파단
  • C. 영구 (소성) 변형
  • D. 저항 사라짐

Q3. Ductile 재료의 특징은?

  • A. 파단 전 변형이 거의 없다
  • B. 파단 전 큰 소성 변형을 허용한다
  • C. 강도가 가장 높다
  • D. 저항성이 없다

Q4. 공학 변형률 $\varepsilon$ 의 정의는?

  • A. $\Delta L / L_0$
  • B. $L / L_0$
  • C. $\sigma / E$ 는 공학 변형률의 반대
  • D. $\sigma \times A$

Q5. Müller-Breslau 원리의 용도는?

  • A. 좌굴 검증
  • B. 항복강도 결정
  • C. 영향선 도출
  • D. 고유진동수

Q6. 휨 보의 Inflection Point 는?

  • A. 전단력이 최대인 지점
  • B. 휨 모멘트 부호가 바뀌는 지점 (M = 0)
  • C. 반력이 있는 지지점
  • D. 하중 작용 위치

Q7. 구조용 강재의 대표 Poisson 비는?

  • A. 약 0.30
  • B. 약 0.45
  • C. 약 0.50
  • D. 약 1.00

Q8. 보의 중립축 (Neutral Axis) 에서 정상 변형률은?

  • A. 0
  • B. 인장 최대
  • C. 압축 최대
  • D. 전단 최대