Module 14 · 구조해석 I — PE Civil 학습 허브

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념
📐 공식·기준 요약
💡 유형별 예제 (6)
🎯 실전 미니 퀴즈 (8문제 · 48분)

📖 핵심 개념

1. 반력 · 평형 방정식

2D 정정 구조는 3개 평형 방정식 (∑F_x = 0, ∑F_y = 0, ∑M = 0) 으로 풀 수 있습니다. 지지점 종류: 핀(hinge) 2반력, 롤러(roller) 1반력, 고정(fixed) 3반력.

2. 트러스 — Method of Joints

트러스는 2 힘 부재(two-force members) 의 연결체. 각 부재는 부재 축 방향으로만 힘(인장/압축)을 전달합니다. 각 조인트에서 ∑F_x = 0, ∑F_y = 0 두 방정식으로 미지의 부재력을 해결.

트러스 가정

모든 부재는 직선·균일 · 핀 연결(마찰 無)
하중과 반력은 조인트에만 작용
부재 자중 무시

3. 보의 처짐 — 캔틸레버

자유단 집중하중 $F$ 캔틸레버 보의 자유단 처짐:

Cantilever · Free-end Point Load

$$ \delta \;=\; \dfrac{F\,L^3}{3\,E\,I} $$

$E$ = 탄성계수, $I$ = 단면 2차모멘트. 강재 $E \approx 29{,}000$ ksi, 콘크리트 $\approx 3{,}600$ ksi.

하중·경계	처짐 공식 (최대)
캔틸레버 · 자유단 P	$\delta = PL^3/(3EI)$
캔틸레버 · 균등 $w$	$\delta = wL^4/(8EI)$
단순보 · 중앙 P	$\delta = PL^3/(48EI)$
단순보 · 균등 $w$	$\delta = 5wL^4/(384EI)$

4. 축하중 부재의 응력

Axial Stress

$$ \sigma \;=\; \dfrac{P}{A} $$

단면적 $A$ 는 복합 단면이면 구성 영역의 합.

5. 영향선 (Influence Line)

단위 집중하중 (1 lbf 또는 1 N) 이 보를 이동할 때, 특정 위치의 반력·전단·모멘트 값을 위치의 함수로 표시한 것. 이동하중 해석·시설의 최악 하중 위치 결정에 쓰입니다.

단순보 반력 영향선

좌측 반력 $R_L$ 의 영향선: 좌측 끝 $=1$, 우측 끝 $=0$, 선형 변화. $x$ 위치의 ordinate $= (L-x)/L$.

$$ R_L \;=\; \sum (\text{ordinate}) \times P\ \text{(point)}, \qquad R_L \;=\; w \times (\text{분포영역 면적}) $$

📐 공식·기준 요약

개념	공식/기준	비고
2D 평형	$\sum F_x, \sum F_y, \sum M = 0$	3개 방정식
2-force member	축 방향 힘만	트러스 전제
Method of Joints	각 조인트 ∑F_x, ∑F_y	단순
Method of Sections	단면 자르고 ∑F, ∑M	특정 부재만 구할 때 효율
Cantilever 처짐	$PL^3/(3EI)$	자유단 P
단순보 중앙 P	$PL^3/(48EI)$	최대 처짐
단순보 균등 w	$5wL^4/(384EI)$	최대 처짐
Axial 응력	$\sigma = P/A$	균일 분포 가정
단순보 반력 ($R_L$)	$P(L-x)/L$	포인트 하중
영향선 분포하중	$R = w \times$ 영향도 면적	단순 합산
강재 E	29,000 ksi = 200 GPa	일반강
콘크리트 E	$57{,}000\sqrt{f_c'}$ psi	ACI 공식

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · Truss Joint 해석 — 조인트 D

Truss

조인트 D 에 부재 BD, DE, DF 가 연결. BD, DF 는 수평이고 DE 는 수직이다. D 에 500 lb 수직 하중이 가해질 때, 부재 DE 의 힘 (lb)은?

A. 500
B. 750
C. 950
D. 975

✅ 단계별 풀이

조인트 평형 (수직 방향)

BD, DF 는 수평 → 수직 성분 없음. DE 와 500 lb 외력만 수직 방향. $$ \sum F_y = 0 \;\Rightarrow\; F_{DE} - 500 = 0 $$

결론

$$ F_{DE} = 500\ \text{lb} $$

포인트 — 같은 작용선(line of action) 위에 있는 힘만으로 평형을 구성. 부재 방향이 다르면 각도를 분해해야 하지만, 여기선 수평/수직으로 이미 분리되어 있음.

최종 답

$$\boxed{F_{DE} = 500\ \text{lb}}$$

✔ 정답: A. 500 lb

예제 2 · 캔틸레버 자유단 처짐

Deflection

강재 캔틸레버 보 L = 10 ft (= 120 in), 자유단 집중하중 F = 600 lb. $E = 29 \times 10^6$ psi, $I = 60$ in⁴. 자유단 처짐 (in)은?

A. 0.15
B. 0.18
C. 0.20
D. 0.25

✅ 단계별 풀이

공식

$$ \delta \;=\; \dfrac{F\,L^3}{3\,E\,I} $$

Step 1. 대입 (단위: inch, psi)

$$ \delta \;=\; \dfrac{600 \times 120^3}{3 \times 29 \times 10^6 \times 60} \;=\; \dfrac{600 \times 1{,}728{,}000}{5.22 \times 10^{9}} $$ $$ \;=\; \dfrac{1.037 \times 10^{9}}{5.22 \times 10^{9}} \;\approx\; 0.199\ \text{in} $$

주의 — L 을 ft 가 아닌 inch 로 대입하지 않으면 답이 1728 배 차이. 모든 단위를 inch-lb 로 통일하는 것이 안전.

최종 답

$$\boxed{\delta \approx 0.20\ \text{in}}$$

✔ 정답: C. 0.20 in

예제 3 · 단순보 수직 반력

Reaction

20 ft 단순지지 보. 왼쪽 끝 A (핀), 오른쪽 끝 B (롤러). A 에서 5 ft 떨어진 지점에 2,000 lb 수직 집중하중. 반력 $R_A$ (lb) 는?

A. 200
B. 500
C. 1,000
D. 1,500

✅ 단계별 풀이

Step 1. B 점에서 모멘트 합

$$ \sum M_B = 0: \quad R_A \cdot 20 - 2{,}000 \cdot 15 \;=\; 0 $$

Step 2. 풀이

$$ R_A \;=\; \dfrac{2{,}000 \times 15}{20} \;=\; 1{,}500\ \text{lb} $$

체크 — $R_B = 2000 - 1500 = 500$ lb. 하중이 A 에 가깝기 때문에 $R_A$ 가 더 큼. 거리와 반대 비율 ($R_A : R_B = 15 : 5 = 3 : 1$).

최종 답

$$\boxed{R_A = 1{,}500\ \text{lb}}$$

✔ 정답: D. 1,500 lb

예제 4 · 축하중 압축 응력

Axial

단면 — 상부 flange 2 in × 0.75 in, 하부 flange 2 in × 0.75 in, 웹 10 in × 1.0 in. (총 단면적 = 2×(2×0.75) + 10×1 = 13 in²). 축하중 P = 560 lb 를 도심에 가했을 때 압축 응력 (psi)?

A. 15
B. 35
C. 39
D. 43

✅ 단계별 풀이

Step 1. 단면적

$$ A \;=\; 2 \times (2 \times 0.75) + 10 \times 1.0 \;=\; 3 + 10 \;=\; 13\ \text{in}^2 $$

Step 2. 응력

$$ \sigma \;=\; \dfrac{P}{A} \;=\; \dfrac{560}{13} \;\approx\; 43\ \text{psi} $$

핵심 — 축하중이 도심에 작용하면 단면 전체에 균일 응력. 하중이 편심이면 굽힘 응력까지 추가.

최종 답

$$\boxed{\sigma \approx 43\ \text{psi}}$$

✔ 정답: D. 43 psi

예제 5 · 영향선 — 이동 집중하중

Influence

20 ft 단순지지 보에 500 lb 집중하중이 우측 끝에서 15 ft 떨어진 지점에 있다. 좌측 반력 (lb)은?

A. 약 200
B. 약 300
C. 약 400
D. 약 500

✅ 단계별 풀이

단순보 좌측 반력 영향선

$$ R_L \;=\; P \cdot \dfrac{L - x}{L}, \quad x = \text{왼쪽 끝에서의 하중 위치} $$

Step 1. 왼쪽 끝 기준 위치

$$ x \;=\; L - 15 \;=\; 20 - 15 \;=\; 5\ \text{ft} $$

Step 2. 영향선 ordinate

$$ \text{ordinate at } x = 5: \quad \dfrac{L-x}{L} \;=\; \dfrac{20-5}{20} \;=\; 0.75 $$

Step 3. 반력

$$ R_L \;=\; 500 \times 0.75 \;=\; 375\ \text{lb} \;\approx\; 400\ \text{lb} $$

최종 답

$$\boxed{R_L \approx 400\ \text{lb}}$$

✔ 정답: C. 약 400 lb

예제 6 · 영향선 — 부분 분포 하중

Influence · UDL

20 ft 단순지지 보. x = 10 ft 에서 x = 16 ft 사이 (6 ft 길이) 에 w = 15 lb/ft 균등분포. 좌측 반력 (lb)은?

A. 약 15
B. 약 30
C. 약 60
D. 약 90

✅ 단계별 풀이

Step 1. 영향선 ordinate (좌측 반력)

$$ \text{at } x = 10: \;\; (20-10)/20 = 0.5 $$ $$ \text{at } x = 16: \;\; (20-16)/20 = 0.2 $$

Step 2. 영향선 사다리꼴 면적

$$ A_{\text{inf}} \;=\; \dfrac{0.5 + 0.2}{2} \times 6 \;=\; 0.35 \times 6 \;=\; 2.1 $$

Step 3. 분포하중의 반력 기여

$$ R_L \;=\; w \cdot A_{\text{inf}} \;=\; 15 \times 2.1 \;\approx\; 31.5\ \text{lb} $$

간편 공식 — 분포 하중이 주는 반력 = $w \times$ 하중 영역 아래 영향선 면적. 모멘트 계산 대신 영향선 이용 = 실전에서 빠름.

최종 답

$$\boxed{R_L \approx 30\ \text{lb}}$$

✔ 정답: B. 약 30 lb

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 14 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. 트러스의 2-force member 에 작용하는 힘은?

A. 부재 축 방향(인장 또는 압축)
B. 부재 수직(전단)
C. 축 방향 + 휨
D. 축 방향 + 전단 + 휨

Q2. 캔틸레버 자유단 집중하중 처짐 공식은?

A. $PL/EI$
B. $PL^3/(3EI)$
C. $5wL^4/(384EI)$
D. $PL^2/(2EI)$

Q3. 구조용 강재의 대표적 탄성계수 $E$ 는?

A. 약 3,600 ksi
B. 약 10,000 ksi
C. 약 15,000 ksi
D. 약 29,000 ksi

Q4. 20 ft 단순보 중앙에 10 kip 집중하중. 각 반력 (kip) 은?

A. 5
B. 7.5
C. 10
D. 15

Q5. 영향선 (Influence Line) 의 정의는?

A. 보의 처짐 형상
B. 단위 이동 하중이 구조물을 이동할 때, 특정 위치의 반응값 변화
C. 전단력 선도
D. 항복 응력 분포

Q6. Method of Joints 에서 각 조인트에 적용하는 평형식은?

A. $\sum M = 0$ 하나만
B. $\sum F_x + \sum F_y = 0$ 하나
C. $\sum F_x = 0$, $\sum F_y = 0$ 두 개
D. $\sum F_x, \sum F_y, \sum M$ 세 개

Q7. 다음 중 부정정 구조 해석에 주로 쓰이는 방법은?

A. Method of Joints
B. Method of Sections
C. 단순 평형 방정식
D. Stiffness / Flexibility Method (매트릭스)

Q8. 트러스가 주로 삼각형으로 구성되는 이유는?

A. 삼각형이 기하학적으로 안정한 최소 다각형이기 때문
B. 제작이 쉬워서
C. 미관상의 이유
D. 재료 절감 때문