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Module 8 · 투수 · 포장

Permeability & Pavements

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. Darcy 법칙 — 흙의 투수성

흙을 통과하는 유량은 수두 경사 $i$ 와 단면적 $A$에 비례합니다. 비례상수가 투수계수 $k$ (길이/시간 단위, 예: ft/sec, cm/sec).

Darcy 법칙
$$ q \;=\; k \cdot i \cdot A, \qquad i \;=\; \dfrac{\Delta h}{L} $$

$q$ = 유량, $i$ = 수두 경사(무차원), $A$ = 흐름에 수직인 단면적, $\Delta h$ = 수두차, $L$ = 흐름 길이.

2. 상수두 · 변수두 투수시험

상수두 (Constant Head) — 고투수성
$$ k \;=\; \dfrac{V \cdot L}{A \cdot t \cdot H} $$

$V$ = 유출 체적, $H$ = 일정 수두차. 모래·자갈 같은 조립토에 적합.

변수두 (Falling Head) — 저투수성
$$ k \;=\; \dfrac{a \cdot L}{A \cdot t}\,\ln\!\left(\dfrac{h_1}{h_2}\right) $$

$a$ = standpipe(burette) 단면적, $A$ = 시료 단면적, $h_1 \to h_2$ 수두 강하. 실트·점토에 적합.

3. 불투수층 위 비피압 우물 — 투수계수 산정

비피압 대수층에서 정상상태 양수 $q$ 로 두 관측정의 수면 높이 $h_1, h_2$를 측정하면:

Well Permeability
$$ k \;=\; \dfrac{q \cdot \ln(r_2/r_1)}{\pi\,(h_2^2 - h_1^2)} $$
흙 종류$k$ 대표값 (cm/s)
자갈 (Gravel)$10^{-1} \sim 10^{2}$
모래 (Sand)$10^{-3} \sim 10^{-1}$
실트 (Silt)$10^{-6} \sim 10^{-4}$
점토 (Clay)< $10^{-7}$

4. 포장 설계 · ESAL 개념

포장 수명은 차량의 누적 축하중 통행량 에 의해 결정됩니다. 모든 차량 축을 18,000 lb (= 80 kN) 단축에 등가 환산한 값이 ESAL (Equivalent Single Axle Load). 차량별 Load Equivalency Factor (LEF) 를 곱해 합산합니다.

ESAL 계산
$$ \text{ESAL}_{\text{year}} \;=\; 365 \cdot \text{DLF} \cdot \text{AADT} \cdot \sum_i \bigl(p_i \cdot N_i \cdot \text{LEF}_i\bigr) $$

DLF = design lane factor (설계차로 비중, 보통 0.3–0.5), AADT = 연평균 일교통량, $p_i$ = 차량 종류별 분율, $N_i$ = 축수, LEFi = 축하중 등가계수. 승용차 LEF $\approx 0.00002$ → 사실상 0.

📐 공식·기준 요약

개념공식/기준비고
Darcy$q = kiA$$i = \Delta h/L$
상수두$k = VL/(AtH)$고투수성
변수두$k = (aL/At)\ln(h_1/h_2)$저투수성
비피압 Well$k = q\ln(r_2/r_1)/[\pi(h_2^2 - h_1^2)]$정상상태
단위 환산$1\,\text{ft}^3 \approx 7.48\,\text{gal}$1 day = 1440 min
ESAL80 kN (18 kip) 단축 등가AASHTO
ESAL 연간$365\cdot\text{DLF}\cdot\text{AADT}\cdot\sum p_i N_i \text{LEF}_i$차량별 합산
LEF 승용차≈ 0.00002 → 무시트럭 지배
k 자갈$10^{-1} \sim 10^{2}$ cm/s
k 모래$10^{-3} \sim 10^{-1}$ cm/s
k 실트$10^{-6} \sim 10^{-4}$ cm/s
k 점토< $10^{-7}$ cm/s사실상 불투수

💡 유형별 예제

각 문제는 선택지 중 하나를 고른 뒤 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · Darcy 법칙 — 댐 아래 침투

Darcy

불투수 토사로 축조된 길이 120 ft 댐이 두께 6.5 ft 모래층 위에 놓여있다. 모래층 $k = 9.5$ ft/day, 댐 전후 수두차 Δh = 5 ft, 침투 수평거리 L = 20 ft. 평균 침투 유량 (gpm)은?

  • A. 약 7.5 gpm
  • B. 약 9.6 gpm
  • C. 약 10.5 gpm
  • D. 약 11.0 gpm

✅ 단계별 풀이

Step 1. 수두 경사 · 단면적
$$ i \;=\; \Delta h / L \;=\; 5/20 \;=\; 0.25 $$ $$ A \;=\; 120 \times 6.5 \;=\; 780\ \text{ft}^2 $$
Step 2. 유량 (ft³/day)
$$ q \;=\; k \cdot i \cdot A \;=\; 9.5 \times 0.25 \times 780 \;=\; 1{,}852.5\ \text{ft}^3/\text{day} $$
Step 3. 단위 환산 gpm
$$ q \;=\; 1{,}852.5 \times \dfrac{7.48\ \text{gal/ft}^3}{1440\ \text{min/day}} \;\approx\; 9.62\ \text{gpm} $$
최종 답
$$ \boxed{\,q \;\approx\; 9.62\ \text{gpm}\,} $$
✔ 정답: B. 약 9.62 gpm

예제 2 · 상수두 투수시험 (Constant Head)

Lab Test

직경 3 in × 길이 5 in 시료에 일정 수두 H = 15 in. 3 분간 V = 14 in³ 유출. 투수계수 (in/min)은?

  • A. 약 0.02
  • B. 약 0.14
  • C. 약 0.22
  • D. 약 0.44

✅ 단계별 풀이

공식
$$ k \;=\; \dfrac{V \cdot L}{A \cdot t \cdot H} $$
Step 1. 시료 단면적
$$ A \;=\; \dfrac{\pi (3)^2}{4} \;=\; \dfrac{9\pi}{4} \;\approx\; 7.069\ \text{in}^2 $$
Step 2. 대입
$$ k \;=\; \dfrac{14 \times 5}{7.069 \times 3 \times 15} \;=\; \dfrac{70}{318.1} \;\approx\; 0.22\ \text{in/min} $$
적용 영역 — 상수두 시험은 모래·자갈 같은 고투수성 토질에 사용. 저투수 흙은 실험 시간이 너무 길어져 변수두 방식이 표준.
최종 답
$$ \boxed{\,k \;\approx\; 0.22\ \text{in/min}\,} $$
✔ 정답: C. 약 0.22 in/min

예제 3 · 변수두 투수시험 (Falling Head)

Lab Test

시료 단면적 A = 7.07 in², 길이 L = 5 in. Burette 단면적 a = 0.10 in². 초기 수두 h₁ = 15 in → h₂ = 10 in 까지 강하하는 데 t = 15 min 소요. 투수계수 (in/min)는?

  • A. 약 0.0015
  • B. 약 0.0019
  • C. 약 0.0028
  • D. 약 0.0040

✅ 단계별 풀이

변수두 공식
$$ k \;=\; \dfrac{a\,L}{A\,t}\,\ln\!\left(\dfrac{h_1}{h_2}\right) $$
Step 1. 대입
$$ k \;=\; \dfrac{0.10 \times 5}{7.07 \times 15}\,\ln\!\left(\dfrac{15}{10}\right) \;=\; \dfrac{0.5}{106.05} \times 0.4055 $$ $$ k \;\approx\; 0.001912\ \text{in/min} $$
적용 영역 — 변수두 시험은 실트·점토 같은 저투수성 흙에 사용. 시험 시간이 길지 않아도 의미있는 수두 강하를 관측할 수 있음.
최종 답
$$ \boxed{\,k \;\approx\; 0.0019\ \text{in/min}\,} $$
✔ 정답: B. 약 0.0019 in/min

예제 4 · 비피압 우물 — 현장 투수계수

Well Test

깊이 20 ft 모래층에서 정상 양수 q = 185 ft³/hr. 관측정 거리 r₁ = 30 ft, r₂ = 150 ft, 수면 높이 h₁ = 14 ft, h₂ = 18 ft. 현장 투수계수 (ft/sec)는?

  • A. 1.2 × 10⁻⁴
  • B. 1.7 × 10⁻⁴
  • C. 1.9 × 10⁻⁴
  • D. 2.0 × 10⁻⁴

✅ 단계별 풀이

공식
$$ k \;=\; \dfrac{q\,\ln(r_2/r_1)}{\pi\,(h_2^2 - h_1^2)} $$
Step 1. 분자
$$ q \cdot \ln(r_2/r_1) \;=\; 185 \times \ln(150/30) \;=\; 185 \times 1.609 \;\approx\; 297.7 $$
Step 2. 분모
$$ \pi (h_2^2 - h_1^2) \;=\; \pi (324 - 196) \;=\; 128\pi \;\approx\; 402.1 $$
Step 3. k (ft/hr → ft/sec)
$$ k \;=\; \dfrac{297.7}{402.1} \;\approx\; 0.740\ \text{ft/hr} $$ $$ k \;=\; 0.740 / 3600 \;\approx\; 2.06 \times 10^{-4}\ \text{ft/sec} $$
최종 답
$$ \boxed{\,k \;\approx\; 2.0 \times 10^{-4}\ \text{ft/sec}\,} $$
✔ 정답: D. 2.0 × 10⁻⁴

예제 5 · ESAL 의 정의

Pavement · ESAL

AASHTO 포장 설계에서 1 ESAL 은 몇 lb의 단축하중에 해당하는가?

  • A. 10,000
  • B. 13,000
  • C. 18,000
  • D. 22,000

✅ 개념 정리

ESAL 정의
1 ESAL = 18,000 lb ≈ 80 kN 단축하중(single axle load) 1회 통과 등가. 모든 축하중은 LEF (축하중 등가계수) 를 곱해 ESAL 로 환산.
실무 감각 — 승용차 축하중 약 2,000 lb → LEF ≈ 0.00002 (거의 0). 5축 트럭은 LEF ≈ 2–3 로 승용차 10 만 배. 포장 수명은 사실상 트럭 교통량으로 결정.
최종 답
$$ \boxed{\,1\ \text{ESAL} \;=\; 18{,}000\ \text{lb}\,} $$
✔ 정답: C. 18,000 lb

예제 6 · ESAL 연간 설계 교통량

ESAL 계산

6차로 고속도로 설계: AADT 25,000, 설계차로 분율 45 %. 차종 비율 — 승용 80 %, 2-axle 트럭 15 %, 3-axle 트럭 5 %. LEF — 승용 0.00002, 2-axle 1.51, 3-axle 8.88. 연간 설계 ESAL 은 얼마에 가장 가까운가?

  • A. 1.9 × 10⁶
  • B. 3.7 × 10⁶
  • C. 7.3 × 10⁶
  • D. 9.4 × 10⁶

✅ 단계별 풀이

Step 1. 승용차 무시

LEF = 0.00002 → 트럭 대비 5 자리수 작음. 사실상 0으로 처리.

Step 2. 트럭별 기여
$$ \text{ESAL}_2 \;=\; 365 \cdot 0.45 \cdot 25{,}000 \cdot 0.15 \cdot 2 \cdot 1.51 \;\approx\; 1.86 \times 10^{6} $$ $$ \text{ESAL}_3 \;=\; 365 \cdot 0.45 \cdot 25{,}000 \cdot 0.05 \cdot 3 \cdot 8.88 \;\approx\; 5.47 \times 10^{6} $$
Step 3. 합산
$$ \text{ESAL}_{\text{year}} \;=\; 1.86 \times 10^{6} + 5.47 \times 10^{6} \;\approx\; 7.33 \times 10^{6} $$
통찰 — 3-axle 트럭이 비율(5 %)은 작지만 LEF가 크므로 기여도 최대. 포장 손상은 축하중의 4제곱 에 비례한다는 AASHTO 4차법칙 때문.
최종 답
$$ \boxed{\,\text{ESAL}_{\text{year}} \;\approx\; 7.3 \times 10^{6}\,} $$
✔ 정답: C. 7.3 × 10⁶

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 8 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. Darcy 법칙의 정확한 형태는?

  • A. $q = k \cdot i \cdot A$
  • B. $q = k / (iA)$
  • C. $q = kA + i$
  • D. $q = k^2 \cdot A$

Q2. 수두 경사 $i$ 의 정의는?

  • A. $V/A$
  • B. $\Delta h / L$
  • C. $k \cdot t$
  • D. $\sqrt{h_1 h_2}$

Q3. 다음 중 투수계수 $k$ 의 단위로 올바른 것은?

  • A. lb/ft²
  • B. ft/sec
  • C. ft²/sec
  • D. 무차원

Q4. 다음 중 상수두(Constant Head) 시험에 가장 적합한 흙은?

  • A. 조립 모래 (k ≈ 10⁻² cm/s)
  • B. 고소성 점토 (k ≈ 10⁻⁸ cm/s)
  • C. 유기질 실트
  • D. 무기 점토

Q5. AASHTO 포장 설계에서 1 ESAL 의 등가 축하중은?

  • A. 10,000 lb
  • B. 13,000 lb
  • C. 18,000 lb (≈ 80 kN)
  • D. 22,000 lb

Q6. 2축 트럭 3,000대/일, 축당 LEF = 2.0. 일 ESAL은 (설계차로 100 %)?

  • A. 6,000
  • B. 12,000
  • C. 24,000
  • D. 60,000

Q7. AADT (Average Annual Daily Traffic) 의 의미는?

  • A. 최대 시간 교통량
  • B. 연간 전체 교통량 ÷ 365 (일평균)
  • C. 설계 시점의 예상 최대값
  • D. 축중 평균

Q8. 다음 중 투수계수가 가장 큰 흙은?

  • A. 자갈
  • B. 모래
  • C. 실트
  • D. 점토