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Module 10 · 전단강도 · 유효응력

Shear Strength & Effective Stress

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. 유효응력 원리 (Terzaghi)

흙의 강도·압축성은 전응력 $\sigma$ 자체가 아니라 흙 골격이 받는 유효응력 $\sigma'$ 이 결정합니다. 간극수가 받는 압력이 간극수압 $u$.

Terzaghi 관계
$$ \sigma' \;=\; \sigma - u $$

지하수 변동으로 $u$ 가 바뀌면 $\sigma$ 가 같아도 $\sigma'$ 가 달라짐 → 흙 거동 변화.

2. 토층별 응력 계산 순서

  1. 각 층의 γ 또는 γ_sat 을 깊이별로 곱해 전응력 σ 누적
  2. 지하수위 기준 수두 × γ_w 로 간극수압 u 계산
  3. 유효응력 $\sigma' = \sigma - u$
수중 단위중량 (Buoyant)
$$ \gamma' \;=\; \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w $$

지하수위 아래 층의 유효응력 증가분은 $\gamma' \cdot z$ 로 직접 계산 가능 (σ와 u를 각각 안 쓰고도 됨).

3. Mohr-Coulomb 파괴기준

흙이 전단 파괴하는 평면의 전단응력은 유효응력의 선형 함수로 모델링됩니다.

Mohr-Coulomb · 두 매개변수
$$ \tau_f \;=\; c' + \sigma' \tan \phi' $$

$c'$ = 유효 점착력 (effective cohesion), $\phi'$ = 유효 내부마찰각. 모래는 보통 $c' = 0$, 점토는 $c' > 0$.

4. Triaxial 시험 3종 — CD / CU / UU

약어의미결과
CD Consolidated Drained (압밀·배수) 유효응력 매개변수 $c', \phi'$ (장기)
CU Consolidated Undrained (압밀·비배수) $u$ 측정 시 유효 매개변수, 측정 안 하면 총응력 매개변수
UU Unconsolidated Undrained (비압밀·비배수) 포화 점토 → $\phi_u = 0$, $c_u = \tau_f$ (단기 안정)

5. Mohr Circle · 주응력

Triaxial 시험에서는 측방 구속압 $\sigma_3$ 와 축차응력(deviator) $\Delta\sigma = \sigma_1 - \sigma_3$ 을 적용. Mohr 원은 중심 $(\sigma_1 + \sigma_3)/2$, 반경 $(\sigma_1 - \sigma_3)/2$. 여러 원의 포락선이 Mohr-Coulomb 파괴선.

σ, σ' τ τ = c' + σ' tan φ' c' φ'
Mohr 원 3개와 Mohr-Coulomb 파괴 포락선

📐 공식·기준 요약

개념공식/기준비고
유효응력$\sigma' = \sigma - u$Terzaghi
간극수압$u = \gamma_w \cdot z_w$정수압 가정
수중 단위중량$\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w$부력 감안
Mohr-Coulomb$\tau_f = c' + \sigma' \tan \phi'$효과 파괴선
포화 점토 UU$\phi_u = 0, \; c_u = (\sigma_1 - \sigma_3)/2$단기 안정
Mohr 원 중심$(\sigma_1 + \sigma_3)/2$
Mohr 원 반경$(\sigma_1 - \sigma_3)/2$
주응력 관계 (모래)$\sigma'_1 = \sigma'_3 N_\phi$$N_\phi = \tan^2(45+\phi/2)$
$c' = 0$ 흙모래, 자갈 (점착력 X)
$\gamma_w$62.4 lb/ft³ · 9.81 kN/m³기준
단위 환산1 psi = 144 psf
압력 예시1 ATM ≈ 14.7 psi ≈ 2,117 psf

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · 단일층 유효응력 계산

σ'

지표면에서 5 ft 건조 모래 $\gamma = 120$ lb/ft³ + 그 아래 10 ft 포화 모래 $\gamma_{\text{sat}} = 135$ lb/ft³. 지하수위는 모래 경계(5 ft 깊이). 깊이 15 ft에서의 유효응력 σ' (psf) 은?

  • A. 약 600 psf
  • B. 약 1,330 psf
  • C. 약 1,950 psf
  • D. 약 2,580 psf

✅ 단계별 풀이

Step 1. 전응력 σ
$$ \sigma \;=\; 5 \times 120 + 10 \times 135 \;=\; 600 + 1{,}350 \;=\; 1{,}950\ \text{psf} $$
Step 2. 간극수압 u
$$ u \;=\; \gamma_w \cdot z_w \;=\; 62.4 \times 10 \;=\; 624\ \text{psf} $$
Step 3. 유효응력
$$ \sigma' \;=\; 1{,}950 - 624 \;=\; 1{,}326\ \text{psf} $$
검산 — γ' 법: $\sigma' = 5 \times 120 + 10 \times (135 - 62.4) = 600 + 726 = 1{,}326$ psf. 두 방법 일치.
최종 답
$$\boxed{\sigma' \approx 1{,}330\ \text{psf}}$$
✔ 정답: B. 약 1,330 psf

예제 2 · Mohr-Coulomb 전단강도

τ

흙의 유효 매개변수 $c' = 100$ psf, $\phi' = 30°$. 유효응력 $\sigma' = 2{,}000$ psf 인 평면의 전단 파괴 응력 $\tau_f$ 는?

  • A. 약 1,000 psf
  • B. 약 1,260 psf
  • C. 약 1,730 psf
  • D. 약 2,100 psf

✅ 단계별 풀이

Mohr-Coulomb
$$ \tau_f \;=\; c' + \sigma' \tan \phi' $$
Step 1. 대입
$$ \tau_f \;=\; 100 + 2{,}000 \times \tan 30° \;=\; 100 + 2{,}000 \times 0.577 \;=\; 100 + 1{,}155 \;\approx\; 1{,}255\ \text{psf} $$
최종 답
$$\boxed{\tau_f \approx 1{,}260\ \text{psf}}$$
✔ 정답: B. 약 1,260 psf

예제 3 · CU Triaxial — 유효 매개변수 $c', \phi'$

Triaxial · CU

CU Triaxial 시험 결과 (단위: psi). 파괴시 유효응력 매개변수 $c', \phi'$는?

$\sigma_3$$\sigma_1 - \sigma_3$$u$$\sigma'_3$$\sigma'_1$
202712835
4049221867
60733228101
  • A. $c' \approx 0,\;\phi' \approx 20°$
  • B. $c' \approx 2$ psi, $\phi' \approx 33°$
  • C. $c' \approx 12$ psi, $\phi' \approx 0°$
  • D. $c' \approx 5$ psi, $\phi' \approx 45°$

✅ 단계별 풀이

대수적 접근
두 파괴 조건 $\sigma'_1 = \sigma'_3 N_\phi + 2c'\sqrt{N_\phi}$ 를 빼서 $N_\phi$를 구하고, 다시 대입해 $c'$를 산출.
Step 1. 두 원 차이로 $N_\phi$ 산출 (원 2, 3 사용)
$$ 101 - 67 \;=\; (28 - 18)\,N_\phi \;\Rightarrow\; N_\phi = \dfrac{34}{10} = 3.4 $$ $$ \sin \phi' \;=\; \dfrac{N_\phi - 1}{N_\phi + 1} \;=\; \dfrac{2.4}{4.4} \;\approx\; 0.545 $$ $$ \phi' \;\approx\; 33° $$
Step 2. 원 2 대입 → $c'$
$$ 67 \;=\; 18 \times 3.4 + 2c'\sqrt{3.4} $$ $$ 67 - 61.2 \;=\; 2c' \times 1.844 \;\Rightarrow\; c' \;\approx\; 1.6\ \text{psi} \;(\approx 2) $$
그래프 풀이 — 실제 시험에선 Mohr 원 세 개를 그려 포락선에 tangent 를 긋고 x 절편(= c') 과 경사각 (= φ') 을 읽습니다. 대수 풀이는 검증 용도.
최종 답
$$\boxed{c' \approx 2\ \text{psi},\; \phi' \approx 33°}$$
✔ 정답: B. c' ≈ 2 psi, φ' ≈ 33°

예제 4 · UU Triaxial — 포화 점토

Triaxial · UU

포화 점토의 UU 시험 결과 (단위: psi). $\sigma_1 - \sigma_3$ 이 전 시험 구간에서 거의 일정하다. 총응력 매개변수 $c, \phi$ 는?

$\sigma_3$$\sigma_1 - \sigma_3$$\sigma_1$
292554
582482
8725112
  • A. $c = 0,\;\phi = 0$
  • B. $c \approx 12$ psi, $\phi = 0°$
  • C. $c = 0,\;\phi \approx 12°$
  • D. $c \approx 12$ psi, $\phi \approx 12°$

✅ 단계별 풀이

포화 점토의 UU 거동
포화 점토는 비배수 시 간극수압이 구속압 증가분을 거의 그대로 받아내므로, 파괴 축차응력이 구속압에 무관. → 총응력 기준 Mohr 원 반경 일정, $\phi_u = 0$.
Step 1. 평균 축차응력 / 반경
$$ \overline{(\sigma_1 - \sigma_3)} \;\approx\; \dfrac{25 + 24 + 25}{3} \;\approx\; 24.7\ \text{psi} $$ $$ R \;=\; \dfrac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} \;\approx\; 12.3\ \text{psi} $$
Step 2. 비배수 점착력 $c_u$
$$ c_u \;=\; R \;\approx\; 12\ \text{psi}, \qquad \phi_u = 0° $$
실무 의미 — 단기 안정 해석 (시공 직후, 제방) 에 $c_u$ 로 바로 사용 가능. 장기 해석은 배수 매개변수 $c', \phi'$ 필요.
최종 답
$$\boxed{c_u \approx 12\ \text{psi},\;\phi_u = 0°}$$
✔ 정답: B. c ≈ 12 psi, φ = 0°

예제 5 · 다층 profile — 점토층 중앙 유효응력

σ' Profile

Profile (위 → 아래): 8 ft 건조 모래 $\gamma_d = 105$ · 지하수위 8 ft · 7 ft 포화 모래 $\gamma_{\text{sat}} = 125$ · 10 ft 포화 점토 $\gamma_{\text{sat}} = 118$ lb/ft³. 점토층 중앙(20 ft 깊이)에서 σ' (psf)?

  • A. 약 1,300
  • B. 약 1,560
  • C. 약 2,200
  • D. 약 2,500

✅ 단계별 풀이

Step 1. 전응력 σ at 20 ft
$$ \sigma \;=\; 8(105) + 7(125) + 5(118) \;=\; 840 + 875 + 590 \;=\; 2{,}305\ \text{psf} $$
Step 2. 간극수압 (지하수위로부터 12 ft 아래)
$$ u \;=\; 62.4 \times 12 \;\approx\; 749\ \text{psf} $$
Step 3. 유효응력
$$ \sigma' \;=\; 2{,}305 - 749 \;\approx\; 1{,}556\ \text{psf} $$
최종 답
$$\boxed{\sigma' \approx 1{,}560\ \text{psf}}$$
✔ 정답: B. 약 1,560 psf

예제 6 · 점토층 중앙 전단강도

τ · σ'

예제 5 의 profile 에서 점토의 유효 매개변수 $c' = 3.5$ psi, $\phi' = 27°$. 점토층 중앙의 전단강도 (psi) 는?

  • A. 약 6
  • B. 약 9
  • C. 약 12
  • D. 약 15

✅ 단계별 풀이

Step 1. σ' 단위 환산 (psf → psi)
$$ \sigma' \;=\; 1{,}556\ \text{psf} \div 144 \;\approx\; 10.8\ \text{psi} $$
Step 2. Mohr-Coulomb
$$ \tau \;=\; c' + \sigma' \tan \phi' \;=\; 3.5 + 10.8 \times \tan 27° $$ $$ \;=\; 3.5 + 10.8 \times 0.5095 \;=\; 3.5 + 5.50 \;\approx\; 9.0\ \text{psi} $$
주의 — psf 와 psi 혼용 시 반드시 환산 (1 psi = 144 psf). 매개변수 단위가 psi 라면 응력도 psi 로 통일해야 합니다.
최종 답
$$\boxed{\tau \approx 9\ \text{psi}}$$
✔ 정답: B. 약 9 psi

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 10 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. 유효응력의 정의로 올바른 것은?

  • A. $\sigma' = \sigma + u$
  • B. $\sigma' = \sigma \cdot u$
  • C. $\sigma' = \sigma / u$
  • D. $\sigma' = \sigma - u$

Q2. 포화 점토의 UU 시험 결과는 일반적으로?

  • A. $\phi_u = 0°$, $c_u = \tau_f$
  • B. $c = 0$, $\phi = 45°$
  • C. $c = 0$, $\phi = 30°$
  • D. $\phi = 90°$

Q3. Mohr-Coulomb 파괴기준의 올바른 형태는?

  • A. $\tau = c + \sigma' \tan \phi$
  • B. $\tau = c \cdot \sigma' \cdot \tan \phi$
  • C. $\tau = c - \sigma' \sin \phi$
  • D. $\tau = \sigma' / \tan \phi$

Q4. Drained triaxial 시험이 가장 오래 걸리는 흙은?

  • A. 조립 모래
  • B. 점토
  • C. 건조 흙
  • D. 자갈

Q5. 지표면에 지하수위, 포화 점토 5 m 깊이, $\gamma_{\text{sat}} = 20$ kN/m³. 깊이 5 m 의 σ' (kPa) 은?

  • A. 약 25
  • B. 약 50
  • C. 약 75
  • D. 약 100

Q6. 수중 단위중량 γ' 의 올바른 관계는?

  • A. $\gamma' = \gamma_{\text{sat}} - \gamma_w$
  • B. $\gamma' = \gamma_{\text{sat}} + \gamma_w$
  • C. $\gamma' = \gamma_d / (1+e)$
  • D. $\gamma' = \gamma_w$

Q7. 4 m 건조 모래 $\gamma = 18$ kN/m³ + 6 m 포화 모래 $\gamma_{\text{sat}} = 20$ kN/m³ (지하수위 4 m). 깊이 10 m 의 σ' (kPa) 은? (γw = 9.81)

  • A. 약 100
  • B. 약 133
  • C. 약 190
  • D. 약 250

Q8. 지하수위가 하강하면 동일 깊이에서 유효응력은?

  • A. 증가 (u 감소)
  • B. 감소 (u 증가)
  • C. 변화 없음
  • D. 항상 0 이 됨