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Module 11 · 토류 구조물

Earth Retaining Structures

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. 주동 · 수동 토압 — Rankine 이론

벽이 흙에서 멀어지는 방향으로 약간 움직이면 주동(active) 상태, 반대로 흙을 향해 움직이면 수동(passive) 상태가 됩니다. 각각 계수는 내부마찰각 $\phi$ 로 결정됩니다.

토압 계수 (수평 지표·마찰 무시)
$$ K_A \;=\; \dfrac{1 - \sin \phi}{1 + \sin \phi}, \qquad K_P \;=\; \dfrac{1 + \sin \phi}{1 - \sin \phi} $$

$K_A \cdot K_P = 1$. 예: $\phi = 30°$ → $K_A = 1/3$, $K_P = 3$.

P_A P_P W H
주동추력 P_A (빨강, 흙이 미는 힘) · 수동저항 P_P (파랑, 벽 전면 흙이 저항)

2. 주동추력 · 수동저항 (건조 지반)

합력 크기 (폭 1 ft 당)
$$ P_A \;=\; \dfrac{1}{2}\,K_A\,\gamma\,H^2, \qquad P_P \;=\; \dfrac{1}{2}\,K_P\,\gamma\,H^2 $$

분포는 삼각형 (지표 0, 바닥 $K\gamma H$). 작용점은 바닥에서 $H/3$ 위치.

3. 점착력 $c$ 가 있는 흙

점착력 포함 active 수평압
$$ p_A(z) \;=\; K_A \cdot \gamma \cdot z \;-\; 2c\,\sqrt{K_A} $$

음의 인장 영역은 균열 가능 → 보통 무시(0 으로 처리). 깊이 $z_0 = 2c/(\gamma\sqrt{K_A})$ 까지는 인장.

4. 지표면 등분포하중 (Surcharge) · 지하수

Surcharge $q$ 기여
$$ p_{A, q} \;=\; K_A \cdot q \quad \text{(전 깊이 동일)} $$

지하수위 아래: 토사는 $\gamma'$ (수중 단위중량) 사용하고, 물은 정수압 $\gamma_w \cdot z_w$ 를 따로 더한다 (정수압에는 $K_A$ 미적용).

5. 옹벽 안정 검토 — 3대 항목

안전율 3종
$$ \text{FS}_{\text{overturning}} \;=\; \dfrac{\sum M_R}{\sum M_O} $$ $$ \text{FS}_{\text{sliding}} \;=\; \dfrac{W \tan \delta + c_a B + P_P}{P_A} $$ $$ \text{FS}_{\text{bearing}} \;=\; \dfrac{q_{\text{ult}}}{q_{\text{applied}}} $$

전도: 토우(toe) 기준 모멘트 비. 활동: 수평력 균형. 지지력: 기초하부 극한 지지력 vs 작용력. 일반 허용치 FS ≥ 1.5 (활동·전도), ≥ 3.0 (지지력).

📐 공식·기준 요약

개념공식/기준비고
주동 계수$K_A = (1-\sin\phi)/(1+\sin\phi)$Rankine
수동 계수$K_P = (1+\sin\phi)/(1-\sin\phi)$$= 1/K_A$
주동추력$P_A = \tfrac{1}{2} K_A \gamma H^2$삼각 분포, 작용점 H/3
수동저항$P_P = \tfrac{1}{2} K_P \gamma H^2$전면 흙이 저항
점착력 보정$p_A = K_A\gamma z - 2c\sqrt{K_A}$인장 영역 무시
Surcharge$p_A = K_A \cdot q$깊이 무관
지하수 아래$\gamma'$ 사용 + $\gamma_w \cdot z_w$ 별도정수압 전달
FS 전도$\sum M_R / \sum M_O$≥ 1.5
FS 활동$(W\tan\delta + P_P) / P_A$≥ 1.5
FS 지지력$q_{\text{ult}} / q_{\text{appl}}$≥ 3.0
$\phi$ = 30° 참고값$K_A = 0.333$, $K_P = 3.0$기본 모래
단위중량$\gamma_w = 62.4$ lb/ft³ = 9.81 kN/m³

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · 주동 추력 계산 (건조 사질토)

Active

수직 옹벽 높이 H = 18 ft, 배면 모래 $\gamma = 107$ lb/ft³, $\phi = 34°$. 지표 수평, 지하수 없음. 벽 단위 길이당 주동 추력 $P_A$ (lb/ft) 는?

  • A. 약 2,000
  • B. 약 3,500
  • C. 약 5,000
  • D. 약 6,500

✅ 단계별 풀이

Step 1. $K_A$ 계산
$$ K_A \;=\; \dfrac{1 - \sin 34°}{1 + \sin 34°} \;=\; \dfrac{1 - 0.559}{1 + 0.559} \;=\; \dfrac{0.441}{1.559} \;\approx\; 0.283 $$
Step 2. 추력
$$ P_A \;=\; \dfrac{1}{2} \cdot 0.283 \cdot 107 \cdot 18^2 \;=\; 0.5 \times 0.283 \times 107 \times 324 \;\approx\; 4{,}906\ \text{lb/ft} $$
체크 — 분포가 삼각형이므로 작용점은 바닥에서 $H/3 = 6$ ft 높이. 전도·활동 해석 시 이 위치 사용.
최종 답
$$\boxed{P_A \approx 5{,}000\ \text{lb/ft}}$$
✔ 정답: C. 약 5,000 lb/ft

예제 2 · 수동 계수 $K_P$

Passive

모래의 내부마찰각 $\phi = 30°$. 수동 토압계수 $K_P$ 는?

  • A. 0.33
  • B. 1.0
  • C. 2.0
  • D. 3.0

✅ 단계별 풀이

$$ K_P \;=\; \dfrac{1 + \sin 30°}{1 - \sin 30°} \;=\; \dfrac{1.5}{0.5} \;=\; 3.0 $$
핵심 — $K_P = 1/K_A$. φ=30 일 때 9배 차이! 즉 같은 흙이라도 벽 움직임 방향에 따라 저항/추력이 9배 차이 날 수 있음.
최종 답
$$\boxed{K_P = 3.0}$$
✔ 정답: D. 3.0

예제 3 · Surcharge 포함 주동 추력

Surcharge

수직 옹벽 $H = 15$ ft, $\gamma = 115$ lb/ft³, $\phi = 30°$. 지표에 등분포 surcharge $q = 500$ psf 이 작용할 때, 벽 단위 길이당 총 주동 추력 (lb/ft)은?

  • A. 약 4,300
  • B. 약 5,500
  • C. 약 6,800
  • D. 약 8,200

✅ 단계별 풀이

Step 1. $K_A$
$$ K_A \;=\; (1 - 0.5)/(1 + 0.5) \;=\; 0.333 $$
Step 2. 토사 삼각 분포
$$ P_{A, \text{soil}} \;=\; \tfrac{1}{2}\,K_A\,\gamma\,H^2 \;=\; 0.5 \times 0.333 \times 115 \times 225 \;\approx\; 4{,}306\ \text{lb/ft} $$
Step 3. Surcharge 직사각 분포
$$ P_{A, q} \;=\; K_A \cdot q \cdot H \;=\; 0.333 \times 500 \times 15 \;\approx\; 2{,}500\ \text{lb/ft} $$
Step 4. 합산
$$ P_A \;=\; 4{,}306 + 2{,}500 \;\approx\; 6{,}806\ \text{lb/ft} $$
작용점 위치 차이 — 토사는 H/3 (바닥에서 5 ft), surcharge는 H/2 (7.5 ft) 위치. 모멘트 해석 시 따로 계산 후 합성.
최종 답
$$\boxed{P_A \approx 6{,}800\ \text{lb/ft}}$$
✔ 정답: C. 약 6,800 lb/ft

예제 4 · 주동 추력 — 지하수 없는 사질토

Active · Dry

수직 옹벽 $H = 22$ ft, 배면 $\gamma = 112$ lb/ft³, $\phi = 35°$, $c = 0$. 지하수위는 벽 바닥에서 10 ft 아래(무영향). 단위 길이당 $P_A$ (lb/ft)?

  • A. 약 5,000
  • B. 약 6,000
  • C. 약 7,300
  • D. 약 8,500

✅ 단계별 풀이

$$ K_A \;=\; (1 - \sin 35°)/(1 + \sin 35°) \;=\; (1 - 0.574)/(1 + 0.574) \;\approx\; 0.271 $$
$$ P_A \;=\; \tfrac{1}{2} \times 0.271 \times 112 \times 22^2 \;=\; 0.5 \times 0.271 \times 112 \times 484 \;\approx\; 7{,}343\ \text{lb/ft} $$
함정 — 지문의 "지하수 벽 아래 10 ft"는 영향 없음을 확인하기 위한 정보. $G_s$ 같은 무관한 값이 함께 주어지기도 함. 관련 정보만 선별하는 능력 필요.
최종 답
$$\boxed{P_A \approx 7{,}300\ \text{lb/ft}}$$
✔ 정답: C. 약 7,300

예제 5 · 전도 안전율 (FS Overturning)

Overturning

자중 W = 20,000 lb/ft, 중심 위치가 벽 토우로부터 수평 4 ft. 주동 추력 $P_A = 8,000$ lb/ft, 바닥에서 6 ft 높이 작용. 전도에 대한 안전율 FS 는?

  • A. 약 1.2
  • B. 약 1.5
  • C. 약 1.7
  • D. 약 2.5

✅ 단계별 풀이

공식 (토우 기준)
$$ \text{FS} \;=\; \dfrac{M_R}{M_O} \;=\; \dfrac{W \cdot d_W}{P_A \cdot h_A} $$
Step 1. 저항 모멘트
$$ M_R \;=\; 20{,}000 \times 4 \;=\; 80{,}000\ \text{lb·ft/ft} $$
Step 2. 전도 모멘트
$$ M_O \;=\; 8{,}000 \times 6 \;=\; 48{,}000\ \text{lb·ft/ft} $$
Step 3. FS
$$ \text{FS} \;=\; \dfrac{80{,}000}{48{,}000} \;\approx\; 1.67 $$
해석 — FS = 1.67 > 허용치 1.5 ✓. 안전. 일반 실무에서 전도는 FS 2.0 을 목표로 잡는 경우도 많음.
최종 답
$$\boxed{\text{FS}_{\text{overturning}} \approx 1.7}$$
✔ 정답: C. 약 1.7

예제 6 · 활동 안전율 (FS Sliding)

Sliding

자중 W = 15,000 lb/ft, 배면 $\gamma = 120$ lb/ft³, $\phi = 30°$, 벽 높이 H = 12 ft. 기초 마찰각 $\delta = \phi$, $P_P$ 무시. 활동 FS 는?

  • A. 약 1.5
  • B. 약 2.0
  • C. 약 2.5
  • D. 약 3.0

✅ 단계별 풀이

Step 1. $K_A$ 및 $P_A$
$$ K_A \;=\; 0.333 $$ $$ P_A \;=\; 0.5 \times 0.333 \times 120 \times 144 \;\approx\; 2{,}878\ \text{lb/ft} $$
Step 2. 마찰 저항력
$$ T \;=\; W \tan \delta \;=\; 15{,}000 \times \tan 30° \;=\; 15{,}000 \times 0.577 \;\approx\; 8{,}660\ \text{lb/ft} $$
Step 3. FS
$$ \text{FS} \;=\; \dfrac{T + P_P}{P_A} \;=\; \dfrac{8{,}660 + 0}{2{,}878} \;\approx\; 3.0 $$
실무 노트 — 수동저항 $P_P$ 는 앞굽부 전면 흙에서 오나 실무에선 불확실성이 커서 무시 하는 경우가 많습니다. 그래서 활동 FS 보수적으로 1.5 이상 요구.
최종 답
$$\boxed{\text{FS}_{\text{sliding}} \approx 3.0}$$
✔ 정답: D. 약 3.0

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 11 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. Rankine 주동 토압계수 $K_A$ 의 올바른 표현은?

  • A. $(1-\sin\phi)/(1+\sin\phi)$
  • B. $(1+\sin\phi)/(1-\sin\phi)$
  • C. $\tan(45 + \phi)$
  • D. $\sin\phi \cdot \cos\phi$

Q2. $\phi = 30°$ 일 때 $K_A \cdot K_P$ 는?

  • A. 1.0
  • B. 3.0
  • C. 9.0
  • D. 0.33

Q3. 옹벽이 배면 흙에서 멀어지는 방향으로 변위가 생기면?

  • A. 정지 토압 상태
  • B. 수동 상태
  • C. 주동 상태
  • D. 인장 상태

Q4. 지표 등분포하중 $q$ 에 의한 수평 주동 응력은?

  • A. $q \cdot z$
  • B. $q \cdot \gamma$
  • C. $q \cdot \tan\phi$
  • D. $q \cdot K_A$ (깊이 무관 일정)

Q5. 수중 단위중량 $\gamma'$ 의 정의는?

  • A. $\gamma_{\text{sat}} - \gamma_w$
  • B. $\gamma_{\text{sat}} + \gamma_w$
  • C. $\gamma_d + \gamma_w$
  • D. $\gamma_w / n$

Q6. 벽 배면에 지하수가 있는 경우, 주동 측압은 dry 조건 대비?

  • A. 증가 (정수압이 추가됨)
  • B. 감소
  • C. 변화 없음
  • D. 옹벽 전면에만 작용

Q7. 전도 안전율 정의는?

  • A. $\sum M_R / \sum M_O$
  • B. $W \tan\phi / P_A$
  • C. $q_{\text{ult}} / q_{\text{applied}}$
  • D. $c / \tau$

Q8. 중력식 옹벽 설계에서 일반적으로 검토하지 않는 항목은?

  • A. 전도 (Overturning)
  • B. 활동 (Sliding)
  • C. 지지력 (Bearing)
  • D. 공진 진동 (Vibration resonance)