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Module DG2 · 토질 성질 · 분류 · 응력 해석

Soil Properties, Classification & Stress Analysis (Depth)

🔗 선수 학습 권장 — Breadth M7 (시료·분류·지수), M10 (전단·유효응력) 을 먼저 복습하신 후 접근하시면 이해가 빠릅니다.
이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. 3상 관계 심화 — γ, γd, e, Gs

토질의 단위중량 · 함수비 · 간극비 · 비중 은 하나의 관계식으로 연결됩니다. Depth 시험에서는 차량 운반 중의 γ, 제방 다짐 상태의 γd 를 비교해 환산하는 문제가 자주 나옵니다.

핵심 관계식: $$ \gamma = \frac{(1+w)\,G_s\,\gamma_w}{1+e}, \qquad \gamma_d = \frac{\gamma}{1+w} = \frac{G_s\,\gamma_w}{1+e} $$
⚠️ 실무 포인트 — 현장에서 측정하는 값은 대개 습윤단위중량 γ 와 함수비 w. 이를 γd 로 변환한 뒤 다짐도·상대밀도를 판정합니다.

2. 상대밀도 (Relative Density, Dr)

사질토의 조밀 정도를 정량화하는 지표. 실험실에서 측정한 최대·최소 간극비 와 현장 간극비 를 비교합니다.

$$ D_r = \frac{e_{\max} - e}{e_{\max} - e_{\min}} = \frac{\gamma_{d,\,\max}(\gamma_d - \gamma_{d,\,\min})}{\gamma_d(\gamma_{d,\,\max} - \gamma_{d,\,\min})} $$

Dr < 0.33 = Loose, 0.33~0.66 = Medium, > 0.66 = Dense.

3. USCS 분류 심화 — 유기질 토양

No.200 체 통과율이 ≥ 50 % 인 세립토 는 Atterberg 한계와 유기질 여부 에 따라 ML / MH / CL / CH / OL / OH 로 나뉩니다. 유기질 여부는 오븐건조 전·후 액성한계 차이 로 판정합니다 (LL 감소율 ≥ 25 % 면 유기질).

기호내용판정 기준
ML저소성 실트LL < 50, PI < 4 또는 A-line 아래
CL저소성 점토LL < 50, PI > 7, A-line 위
OL저소성 유기질LL < 50, 유기질 양성
MH고소성 실트LL ≥ 50, A-line 아래
CH고소성 점토LL ≥ 50, A-line 위
OH고소성 유기질LL ≥ 50, 유기질 양성
⚠️ 함정 — LL ≥ 50 에 유기질 징후 (검은색·부패취·LL 감소율 ≥ 25 %) 이 있으면 MH/CH 가 아니라 OH. NCEES·depth-set 양쪽 모두 이 분류를 묻는 문제가 출제됩니다.

4. 유효응력 · 지하수위 변동

유효응력 σ' 은 흙 입자가 실제로 받는 응력 이며 전단강도를 결정합니다. 지하수위가 변하면 간극수압 u 가 변하지만, 지하수위가 지표 위로 올라가도 σ' 은 변하지 않습니다 (위쪽 물 무게와 그만큼의 부력이 상쇄).

$$ \sigma' = \sigma - u, \qquad \sigma = \sum \gamma_i h_i, \qquad u = \gamma_w z_w $$
NCEES 고전 함정 — "지하수위를 지표 위 10 ft 까지 올리면 점토층 중앙의 유효응력은?" 정답은 변하지 않음. 지표 위 물기둥의 자중이 추가되는 만큼 부력도 같이 증가합니다.

5. Seepage — Flow Net

등수두선(equipotential line) 과 유선(flow line) 이 직교하는 격자망. 댐·제방 아래 침투 유량 계산에 씁니다.

$$ Q = k \cdot h \cdot \frac{N_f}{N_d} $$ — $k$: 투수계수, $h$: 총수두차, $N_f$: 유로(flow channel) 수, $N_d$: 등수두 감소(potential drop) 수.

6. 전단강도 — Triaxial 로 φ 구하기

배수 삼축시험(drained triaxial)에서 측정한 축차응력 과 구속압 으로 Mohr 원을 그리면 φ 를 역산할 수 있습니다.

$$ \sin \phi' = \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{\sigma'_1 + \sigma'_3} $$ — 배수시험이면 σ' = σ − u. 비배수는 φu ≈ 0 (점토 한정).

📐 공식·기준 요약

① 3상 관계
$$ \gamma = \frac{(1+w)G_s \gamma_w}{1+e}, \quad \gamma_d = \frac{G_s \gamma_w}{1+e}, \quad S \cdot e = w \cdot G_s $$
② 상대밀도
$$ D_r = \frac{e_{\max} - e}{e_{\max} - e_{\min}} $$
③ 유효응력 / 간극수압
$$ \sigma' = \sigma - u, \quad \sigma = \sum \gamma_i h_i, \quad u = \gamma_w z_w $$
④ Flow Net 침투량
$$ Q = k h (N_f / N_d) $$
⑤ Mohr-Coulomb (배수)
$$ \sin \phi' = \frac{\sigma'_1 - \sigma'_3}{\sigma'_1 + \sigma'_3}, \quad \tau_f = c' + \sigma' \tan \phi' $$
⑥ Atterberg 지수
$$ PI = LL - PL, \quad LI = \frac{w - PL}{PI}, \quad A = \frac{PI}{\text{% clay size}} $$

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · 운반 트럭의 건조단위중량

γd

제방을 γd = 106 lb/ft³, w = 12.5 % 로 다져야 한다. 반입 토사는 10 yd³ 트럭으로 운반되며 운반 시 e = 0.70, w = 10 %. 원지반 e = 1.0, Gs = 2.67. 트럭 위 토사의 건조단위중량 γd 는?

  • A. 98.0 lb/ft³
  • B. 94.0 lb/ft³
  • C. 108.0 lb/ft³
  • D. 112.0 lb/ft³

✅ 단계별 풀이

Step 1. 운반 시 γ (습윤단위중량)
$$ \gamma = \frac{(1+w) G_s \gamma_w}{1+e} = \frac{(1+0.10) \times 2.67 \times 62.4}{1+0.70} = \frac{183.3}{1.70} \approx 107.8~\text{lb/ft}^3 $$
Step 2. γ 에서 γd 환산
$$ \gamma_d = \frac{\gamma}{1+w} = \frac{107.8}{1+0.10} \approx 98.0~\text{lb/ft}^3 $$
해석 — 운반 트럭의 γd(98) 이 제방 요구치(106) 보다 낮으므로 다짐이 필요 합니다. 원지반 e = 1.0 은 미사용 정보 (혼동 유발).
최종 답
$$\boxed{\gamma_d \approx 98.0~\text{lb/ft}^3}$$
✔ 정답: A. 98.0 lb/ft³

예제 2 · 지하수위 상승과 유효응력 변화

σ'

어느 점토층 중앙의 초기 응력은 σ = 855 psf, σ' = 387 psf, u = 468 psf (즉 지하수위가 지표에 있음). 지하수위를 지표 위로 10 ft 올리면, 해당 점토층 중앙의 유효응력 변화 Δσ' 은?

  • A. + 387 psf
  • B. + 855 psf
  • C. + 1,479 psf
  • D. 변화 없음 (Δσ' = 0)

✅ 단계별 풀이

Step 1. 수위 상승으로 추가되는 전응력
지표 위로 10 ft 물기둥이 추가되면, 이 하중은 지표 이하 모든 점의 전응력에도 전달된다. $$ \Delta \sigma = \gamma_w \cdot 10 = 62.4 \times 10 = 624~\text{psf} $$
Step 2. 동시에 간극수압도 같은 양만큼 증가
수위가 지표 위 10 ft 라면 점토층 중앙의 u 도 딱 $\gamma_w \cdot 10 = 624$ psf 증가. $$ \Delta u = 624~\text{psf} $$
Step 3. 유효응력 변화
$$ \Delta \sigma' = \Delta \sigma - \Delta u = 624 - 624 = 0 $$
핵심 원리 — 지하수위가 지표 위로 상승해도, 추가 물 하중과 추가 부력이 정확히 상쇄. 따라서 점토층의 전단강도·침하는 변하지 않음. (반대로 수위가 지표 아래에서 상승하면 σ' 감소)
최종 답
$$\boxed{\Delta \sigma' = 0}$$
✔ 정답: D. 변화 없음

예제 3 · 콘크리트 댐 아래 Seepage 유량

Q

길이 25 m 의 콘크리트 댐이 지표 아래 1 m 에 묻혀 있고, 힐(heel) 에 깊이 5 m sheet pile 이 있다. 상류 수두 7 m, 하류 = 지표면. 토양 투수계수 k = 20 × 10⁻⁴ cm/s (등방성). Flow net 에서 Nf = 4, Nd = 13 이 나왔을 때, 댐 아래 단위 길이 당 침투유량 Qt 는?

  • A. 2.5 × 10⁻⁵ m³/s·m
  • B. 8.4 × 10⁻⁵ m³/s·m
  • C. 4.3 × 10⁻⁵ m³/s·m
  • D. 5.1 × 10⁻⁵ m³/s·m

✅ 단계별 풀이

Step 1. 단위 변환
$$ k = 20 \times 10^{-4}~\text{cm/s} = 2.0 \times 10^{-5}~\text{m/s} $$
Step 2. Flow Net 공식 적용
$$ Q_t = k \cdot h \cdot \frac{N_f}{N_d} = 2.0 \times 10^{-5} \times 7 \times \frac{4}{13} $$ $$ = 14 \times 10^{-5} \times 0.3077 \approx 4.30 \times 10^{-5}~\text{m}^3/\text{s} $$
메모 — 이 값은 단위 길이(1 m) 당 유량. 전체 댐 25 m 에 걸친 총 유량은 25 배. Qtotal = 25 × 4.30 × 10⁻⁵ ≈ 1.08 × 10⁻³ m³/s.
최종 답
$$\boxed{Q_t \approx 4.3 \times 10^{-5}~\text{m}^3/\text{s·m}}$$
✔ 정답: C. 4.3 × 10⁻⁵ m³/s·m

🎯 실전 미니 퀴즈 8 문제 · 48 분

48:00

Q1. 어떤 세립토가 LL = 64, PL = 44 로 측정되었고, 오븐건조 후 LL 이 40 % 이하로 감소했다. USCS 분류는?

  • A. GM
  • B. OL
  • C. ML
  • D. OH

Q2. 현장 γ = 120 lb/ft³, w = 20 % 인 토사의 건조단위중량 γd 는?

  • A. 약 80 lb/ft³
  • B. 약 95 lb/ft³
  • C. 약 100 lb/ft³
  • D. 약 124 lb/ft³

Q3. emax = 0.84, emin = 0.61, 현장 e = 0.70 일 때 상대밀도 Dr 은?

  • A. 약 0.40
  • B. 약 0.61
  • C. 약 0.70
  • D. 약 0.84

Q4. 지하수위가 지표 위로 3 m 상승했다. 지표 아래 5 m 지점의 유효응력 변화는?

  • A. 변화 없음
  • B. 약 30 kPa 증가
  • C. 약 30 kPa 감소
  • D. 약 60 kPa 증가

Q5. Flow net 에서 Nf = 3, Nd = 10, h = 5 m, k = 1 × 10⁻⁵ m/s. 단위 길이 당 침투유량은?

  • A. 5.0 × 10⁻⁴ m³/s·m
  • B. 1.7 × 10⁻⁴ m³/s·m
  • C. 3.0 × 10⁻⁶ m³/s·m
  • D. 1.5 × 10⁻⁵ m³/s·m

Q6. 배수 삼축시험: σ'3 = 100 kN/m², σ'1 = 300 kN/m². 내부마찰각 φ' 는? (c' = 0 가정)

  • A. 약 30°
  • B. 약 25°
  • C. 약 35°
  • D. 약 40°

Q7. 동결 감수성(Frost susceptibility) 이 가장 높은 흙은?

  • A. Clean sand (SW, SP), 0.02 mm 미만 통과율 < 3 %
  • B. Gravel (GW), 0.02 mm 미만 통과율 < 3 %
  • C. Silty sand (SM), 0.02 mm 미만 통과율 6~15 %
  • D. 건조 모래 (SP), 함수비 0 %

Q8. Atterberg 시험 결과 LL = 40, PL = 20, 현장 함수비 w = 28 %. 액성지수 LI 는?

  • A. 0.40
  • B. 0.60
  • C. 0.70
  • D. 1.20