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Module DC1 · 공정관리 · CPM · EVM 심화

Scheduling — Critical Path Method · PERT · Earned Value Management

🔗 선수 학습 — Breadth M2 (경제·공정) 의 CPM 기본을 EVM 까지 심화합니다.
이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념

1. AON (Activity-on-Node) 네트워크

각 활동은 노드, 화살표 = 선후 관계. Predecessor (선행), Successor (후행). 관계 유형: FS (Finish-to-Start, 표준), SS, FF, SF, lag/lead.

2. Forward Pass (ES, EF)

$$ EF_i = ES_i + d_i $$ $$ ES_j = \max(EF_i\ \text{for all predecessors of }j) $$ Project duration = max(EF) of terminal activities.

3. Backward Pass (LS, LF)

$$ LS_i = LF_i - d_i $$ $$ LF_i = \min(LS_j\ \text{for all successors of }i) $$ Terminal: LF = project duration.

4. Float (Slack)

Total Float (TF): $\quad TF = LS - ES = LF - EF$
Free Float (FF): $\quad FF = \min(ES_{succ}) - EF$
Critical Path: 모든 활동 TF = 0 인 가장 긴 경로.

5. PERT (β분포 기대 시간)

$$ t_e = \frac{a + 4m + b}{6}, \quad \sigma = \frac{b - a}{6}, \quad \sigma^2 = \left(\frac{b-a}{6}\right)^2 $$ a optimistic, m most likely, b pessimistic. 임계경로 분산 = ΣΣ2 (independent activities).

6. Crashing & Time-Cost Trade-off

$$ \text{Cost slope} = \frac{C_{crash} - C_{normal}}{D_{normal} - D_{crash}}~[\$/\text{day}] $$ Crash 우선순위: 임계경로 활동 중 cost slope 가 가장 작은 것.

7. Earned Value Management (EVM)

핵심 3 값: PV (Planned Value), EV (Earned Value), AC (Actual Cost)

분산: $$ SV = EV - PV, \quad CV = EV - AC $$ 지표: $$ SPI = EV/PV, \quad CPI = EV/AC $$ 예측 (BAC = Budget at Completion): $$ EAC = BAC/CPI, \quad ETC = EAC - AC $$

8. EVM 해석

SPI > 1: 일정 앞섬, < 1: 지연.
CPI > 1: 비용 절감, < 1: 초과.
예: EV=$80, PV=$100, AC=$90 → SPI=0.80 (지연), CPI=0.89 (초과).
⚠️ 핵심 함정 — Free Float ≤ Total Float 항상. Crash 는 임계경로에서만 효과. EAC = BAC/CPI 가 가장 일반적이지만 "남은 = ETC × 1/CPI" 변형도 출제.

📐 공식·기준 요약

① Forward / Backward Pass
EF=ES+d  |  ES_j=max(EF_i)  |  LS=LF−d  |  LF_i=min(LS_j)
② Total Float
$$ TF = LS - ES = LF - EF $$
③ PERT 기대시간
$$ t_e = (a + 4m + b)/6 $$
④ EVM 분산·지표
$$ SV=EV-PV,\ CV=EV-AC,\ SPI=EV/PV,\ CPI=EV/AC $$
⑤ EAC
$$ EAC = BAC/CPI $$
⑥ Crashing 우선순위
임계경로 + 최소 cost slope

💡 유형별 예제

예제 1 · Total Float 산출

Float

활동 X 의 ES = 5, d = 4, LF = 12. Total Float 는?

  • A. 0
  • B. 3
  • C. 5
  • D. 7

✅ 단계별 풀이

$$ EF = ES + d = 5 + 4 = 9 $$ $$ TF = LF - EF = 12 - 9 = 3 $$ (또는 LS = 12 − 4 = 8, ES = 5 → TF = LS − ES = 3)
최종 답
$$\boxed{TF = 3}$$
✔ 정답: B. 3

예제 2 · PERT 기대시간 & 표준편차

PERT

활동 a = 4 d, m = 8 d, b = 18 d. 기대시간 te 와 표준편차 σ 는?

  • A. te=8, σ=1.7
  • B. te=9, σ=2.3
  • C. te=10, σ=2.0
  • D. te=12, σ=2.7

✅ 단계별 풀이

$$ t_e = \frac{4 + 4(8) + 18}{6} = \frac{4 + 32 + 18}{6} = \frac{54}{6} = 9~\text{d} $$ $$ \sigma = (b - a)/6 = (18-4)/6 = 14/6 \approx 2.33~\text{d} $$
최종 답
$$\boxed{t_e = 9,\ \sigma \approx 2.33}$$
✔ 정답: B. te=9, σ=2.3

예제 3 · EVM 지표 산출

EVM

BAC = $200,000, PV = $100,000, EV = $90,000, AC = $110,000. SPI, CPI, EAC 는?

  • A. 0.90, 0.82, 244,000
  • B. 0.82, 0.90, 220,000
  • C. 1.10, 1.18, 170,000
  • D. 0.90, 0.90, 222,000

✅ 단계별 풀이

$$ SPI = EV/PV = 90000/100000 = 0.90 $$ $$ CPI = EV/AC = 90000/110000 \approx 0.818 $$ $$ EAC = BAC/CPI = 200000/0.818 \approx 244{,}444 $$
SPI 0.90 → 일정 10% 지연. CPI 0.82 → 비용 18% 초과. 완료 시 약 244 K 예상.
최종 답
$$\boxed{0.90,\ 0.82,\ \$244{,}000}$$
✔ 정답: A

🎯 실전 미니 퀴즈 8 문제 · 48 분

48:00

Q1. Critical Path 의 Total Float 는?

  • A. 0
  • B. 음수
  • C. 1
  • D. 변수

Q2. Free Float 는 다음 중 무엇 이하인가?

  • A. 0
  • B. Total Float
  • C. Project Duration
  • D. 무한

Q3. a=2, m=5, b=14 일 때 te 는?

  • A. 5
  • B. 6.5
  • C. 6.0
  • D. 7.0

Q4. Crashing 시 우선 단축 대상 활동은?

  • A. 임계경로 + 최저 cost slope
  • B. 모든 활동 균등
  • C. Float 가 가장 큰 활동
  • D. 가장 비싼 활동

Q5. CPI = 0.85 의 의미는?

  • A. 일정 15% 앞섬
  • B. 비용 약 18% 초과
  • C. 완료 단계
  • D. 정상

Q6. SPI = 1.0 의 의미는?

  • A. 비용 정상
  • B. 100% 완료
  • C. 일정 지연
  • D. 일정 정상

Q7. BAC=$500K, CPI=0.80. EAC 는 약?

  • A. $625 K
  • B. $400 K
  • C. $500 K
  • D. $800 K

Q8. AON 표준 관계 유형은?

  • A. SS
  • B. FF
  • C. FS (Finish-to-Start)
  • D. SF