Module 25 · 교통류·속도·밀도

이 모듈에서 다룰 내용

📖 핵심 개념
📐 공식·기준 요약
💡 유형별 예제 (6)
🎯 실전 미니 퀴즈 (8문제 · 48분)

📖 핵심 개념

1. 교통류 3요소: 유량·속도·밀도

기본 관계

$$ q \;=\; k \cdot u_{s} $$

$q$ = 유량 (vph, vehicles/hr),
$k$ = 밀도 (vpm, vehicles/mile),
$u_{s}$ = 공간평균속도 (space mean speed, mph).

2. Time Mean Speed vs Space Mean Speed

항목	정의	계산
$u_{t}$ (시간평균)	특정 지점 통과 차량들의 산술평균	$\frac{1}{N}\sum u_{i}$
$u_{s}$ (공간평균)	특정 순간 도로 구간의 차량들 평균	$\frac{N}{\sum (1/u_{i})}$ (조화평균)

항상 $u_{t} \ge u_{s}$. 교통류 계산에는 공간평균속도를 사용.

3. Headway (시간·거리 간격)

Headway 관계

$$ h_{t} \;=\; \frac{1}{q}\ \ (\text{sec/veh}),\qquad h_{d} \;=\; \frac{1}{k}\ \ (\text{ft/veh} 또는 mi/veh) $$

$h_{t}$ = 시간간격 (time headway), $h_{d}$ = 거리간격 (distance headway, 범퍼-범퍼).

4. Greenshields 선형 모형

속도-밀도 선형 관계

$$ u_{s} \;=\; u_{f}\Bigl(1 - \frac{k}{k_{j}}\Bigr) $$

중요한 결과

$$ u_{f} = 2 u_{o},\qquad k_{o} = k_{j}/2,\qquad q_{\max} = \frac{u_{f}\,k_{j}}{4} $$

$u_{f}$ = 자유속도 (무차량 시 최대속도),
$k_{j}$ = jam density (완전 정체 밀도),
$u_{o}, k_{o}$ = 최적 속도·밀도 (용량 발생 시).

5. 점속도(Spot Speed) 표본 크기

최소 표본 크기 (평균 추정)

$$ N \;=\; \left(\frac{t_{\alpha}\,\sigma}{d}\right)^{2} $$

$t_{\alpha}$ = 신뢰수준 임계값 (95% 에서 1.96),
$\sigma$ = 표준편차 (mph),
$d$ = 허용 오차 (mph).

6. 충격파 (Shockwave)

충격파 속도

$$ u_{w} \;=\; \frac{q_{2} - q_{1}}{k_{2} - k_{1}} $$

부호 (−) 이면 상류로 역행. 사고·정체로 $k$ 가 급증하는 경계. 충격파 진행 시간 × 속도 = 차량 행렬 길이.

7. Decision Sight Distance (DSD) vs SSD

SSD (Stopping Sight Distance) 는 일상 제동. DSD (Decision SSD) 는 공사구간·램프 종단·교차로 진입 등 복잡한 상황에서 주행자가 판단·회피를 위해 필요한 거리로 SSD 의 1.5~2 배 수준. AASHTO Green Book Chapter 3 에 설계속도별 표 제공.

Greenshields: q–k 포물선, 정점이 용량

📐 공식·기준 요약

개념	공식/기준	비고
기본 관계	$q = k u_{s}$	vph, vpm, mph
Time headway	$h_{t} = 1/q$ (sec)
Distance headway	$h_{d} = 1/k$ (ft, 5280/k)
TMS	$u_{t} = \tfrac{1}{N}\sum u_{i}$	산술평균
SMS	$u_{s} = N/\sum(1/u_{i})$	조화평균
Greenshields	$u = u_{f}(1 - k/k_{j})$	선형
용량	$q_{\max} = u_{f}k_{j}/4$	$u_{o}=u_{f}/2$
최적 밀도	$k_{o} = k_{j}/2$
표본 크기	$N = (t_{\alpha}\sigma/d)^{2}$	95% → $t = 1.96$
충격파	$u_{w} = (q_{2}-q_{1})/(k_{2}-k_{1})$	부호 방향
행렬 길이	$\|u_{w}\| \cdot t$
DSD	AASHTO Exhibit 3-3	SSD 의 1.5–2 배
1 mph → ft/s	× 1.467	5280/3600

💡 유형별 예제

각 문제는 정답 및 풀이 보기로 해설을 펼칠 수 있습니다.

예제 1 · 점속도 표본 크기

통계

점속도 표본의 표준편차 $\sigma = 8.1$ mph 가 주어졌다. 95% 신뢰수준에서 허용오차 $\pm 2$ mph 이내로 평균을 추정하려면 최소 몇 대를 측정해야 하는가?

A. 약 20
B. 약 30
C. 약 40
D. 약 60

✅ 단계별 풀이

공식

$$ N = \left(\frac{t_{\alpha}\,\sigma}{d}\right)^{2} $$

Step 1. 95% → t = 1.96

$$ N = \left(\frac{1.96 \times 8.1}{2}\right)^{2} = (7.938)^{2} = 63.0 $$

최종 답

$$\boxed{N \approx 60}$$

✔ 정답: D. 약 60

예제 2 · Greenshields 로부터 용량

Capacity

어느 차로의 시간 headway $h_{t} = 3$ sec, 거리 headway $h_{d} = 220$ ft, 최적 속도 $u_{o} = 60$ mph. Greenshields 모형 하에서의 용량 (vph) 은?

A. 약 1,200
B. 약 1,500
C. 약 1,750
D. 약 2,000

✅ 단계별 풀이

Step 1. 관측 q, k

$$ q = 1/h_{t} = 1/3\ \text{veh/sec} = 1{,}200\ \text{vph} $$ $$ k = 5280/h_{d} = 5280/220 = 24\ \text{vpm} $$

Step 2. 관측 속도

$$ u_{s} = q/k = 1200/24 = 50\ \text{mph} $$

Step 3. 자유속도

$$ u_{f} = 2 u_{o} = 120\ \text{mph} $$

Step 4. kj 유도

$$ u_{s}^{2} = u_{f}u_{s} - \frac{u_{f}}{k_{j}}q $$ $$ 2500 = 6000 - \frac{120}{k_{j}}\times 1200\ \Rightarrow\ k_{j} = \frac{144{,}000}{3500} = 41.1\ \text{vpm} $$

Step 5. 용량

$$ q_{\max} = \frac{u_{f}\,k_{j}}{4} = \frac{120\times 41.1}{4} = 1{,}234\ \text{vph} $$

최종 답

$$\boxed{q_{\max} \approx 1{,}200\ \text{vph}}$$

✔ 정답: A. 약 1,200

예제 3 · Jam Density 계산

Greenshields

고속도로에서 유량 $q = 1600$ vph, 자유속도 $u_{f} = 110$ mph, 공간평균속도 $u_{s} = 53.81$ mph. Jam density (vpm) 는?

A. 약 30
B. 약 40
C. 약 50
D. 약 60

✅ 단계별 풀이

Step 1. 현재 밀도

$$ k = q/u_{s} = 1600/53.81 = 29.7\ \text{vpm} $$

Step 2. Greenshields 역산

$$ u_{s} = u_{f}(1 - k/k_{j})\ \Rightarrow\ 53.81 = 110 \Bigl(1 - \frac{29.7}{k_{j}}\Bigr) $$ $$ 1 - 29.7/k_{j} = 0.489\ \Rightarrow\ k_{j} = 29.7/0.511 = 58.2\ \text{vpm} $$

최종 답

$$\boxed{k_{j} \approx 60\ \text{vpm}}$$

✔ 정답: D. 약 60

예제 4 · 거리 Headway

Headway

용량 1,576 vph, $k_{j} = 57.3$ vpm 인 도로에서 실제 관측 유량 $q = 1500$ vph, $u_{s} = 67$ mph. 평균 거리 headway (ft, 범퍼-범퍼) 는?

A. 약 225
B. 약 240
C. 약 255
D. 약 265

✅ 단계별 풀이

Step 1. 관측 밀도

$$ k = q/u_{s} = 1500/67 = 22.39\ \text{vpm} $$

Step 2. 거리 headway

$$ h_{d} = \frac{5280\ \text{ft/mi}}{k} = \frac{5280}{22.39} = 235.8\ \text{ft} $$

주의 — 용량과 $k_{j}$ 는 이 문제에서 미사용. 이미 주어진 관측 $q, u_{s}$ 로 충분. 함정 방지 기출 유형.

최종 답

$$\boxed{h_{d} \approx 240\ \text{ft}}$$

✔ 정답: B. 약 240

예제 5 · 충격파로 인한 차량 행렬 길이

Shockwave

2차로 고속도로 사고로 속도 65 → 20 mph, 유량 4,000 → 3,000 vph 로 감소. 사고 해결에 45 분 걸린다면 형성된 차량 행렬의 길이 (mile) 는?

A. 약 4
B. 약 6
C. 약 7
D. 약 9

✅ 단계별 풀이

Step 1. 상·하류 밀도

$$ k_{1} = 4000/65 = 61.5\ \text{vpm},\qquad k_{2} = 3000/20 = 150\ \text{vpm} $$

Step 2. 충격파 속도

$$ u_{w} = \frac{q_{2}-q_{1}}{k_{2}-k_{1}} = \frac{3000-4000}{150-61.5} = -11.30\ \text{mph} $$ (부호 $-$ 는 상류 역진)

Step 3. 행렬 길이

$$ L = |u_{w}|\cdot t = 11.30\times 0.75 = 8.48\ \text{mile} $$

최종 답

$$\boxed{L \approx 9\ \text{miles}}$$

✔ 정답: D. 약 9

예제 6 · 공사구간 표지 설치 거리 (DSD 적용)

AASHTO

시골 65 mph 고속도로에 35 mph 로 감속하는 공사구간. 표지 가독성은 글자 높이 1 in 당 60 ft 이고 글자는 9 in 이다. 공사구간으로부터 표지의 최소 설치거리 (ft) 는?

A. 150
B. 300
C. 450
D. 1,050

✅ 개념 정리

핵심 — 가독거리 (9 × 60 = 540 ft) 는 '참고'이지 결정값이 아님. 이 문제는 AASHTO Green Book 의 Decision Sight Distance (DSD) 표(Exhibit 3-3) 에서 설계속도 65 mph + 회피 기동 E (속도·차로·방향 변화) 에 해당하는 1,050 ft 를 요구.

함정 — 글자 크기 정보는 함정. DSD 가 가독거리보다 크므로 지배값. AASHTO 는 공사구간·램프 종단 등 복잡한 상황에서 SSD 대신 DSD 를 적용.

최종 답

$$\boxed{\text{DSD} = 1{,}050\ \text{ft}}$$

✔ 정답: D. 1,050

🎯 실전 미니 퀴즈

8문제 · 48분. 70% 이상이면 합격선.

Module 25 · 실전 미니 퀴즈

48:00

Q1. 교통류의 기본 관계식은?

A. $u = q + k$
B. $q = k \cdot u_{s}$
C. $q = u_{s}/k$
D. $u_{s} = q \cdot k$

Q2. 같은 차로에서 항상 $u_{t}$ 와 $u_{s}$ 의 관계는?

A. $u_{t} < u_{s}$
B. $u_{t} = u_{s}$
C. $u_{t} \ge u_{s}$
D. 상황에 따라 다름

Q3. Greenshields 모형에서 최적 밀도 $k_{o}$ 는?

A. $k_{j}/2$
B. $k_{j}$
C. $k_{j}/4$
D. $2 k_{j}$

Q4. $u_{f} = 60$ mph, $k_{j} = 200$ vpm. 용량 (vph) 은?

A. 1,200
B. 2,400
C. 3,000
D. 4,800

Q5. 95% 신뢰수준 점속도 표본에서 $\sigma = 5$ mph, $d = 1$ mph 면 최소 N 은?

A. 약 50
B. 약 75
C. 약 100
D. 약 150

Q6. 거리 headway 100 ft 이면 밀도 (vpm) 는?

A. 약 30
B. 약 53
C. 약 100
D. 약 175

Q7. 시간 headway 2.0 sec 이면 유량 (vph) 은?

A. 1,800
B. 2,400
C. 3,600
D. 720

Q8. DSD 가 SSD 보다 긴 이유는?

A. 야간 운전 반영
B. 노면 마찰 감소 고려
C. 차량 총중량 보정
D. 복잡한 판단·회피 기동 시간 포함